Yedekleriyle beraber 8 sporcudan oluşan bir voleybol takımı maçlara 6 sporcuyla çıkmaktadır. Bir sezonda en çok maça çıkan sporcu 15, en az maça çıkan sporcu 12 maç oynamıştır. Buna göre, bu voleybol takımı bir sezonda kaç maç yapmıştır?
Soruyu adım adım inceleyelim:
- Takımda toplam 8 sporcu var.
- Maça 6 sporcu çıkıyor.
- En çok oynayan sporcu 15 maç, en az oynayan 12 maç oynamış.
- Her maçta tam 6 farklı sporcu oynar (yedeklerle dönüşümlü).
Çözüm Yolu
Varsayalım ki takım toplamda x maç yapsın.
Her maçta 6 oyuncu oynadığı için, bütün maçlar boyunca toplam 6x oyuncu-maç oynanır.
Her bir sporcunun sezon boyunca çıktığı maçları toplarsak:
Toplam maç sayısı = her sporcunun oynadığı maç sayısının toplamı.
Yani:
a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_8 = 6x
Burada a_1, a_2, \dots, a_8 her bir sporcunun oynadığı maç sayısı.
Her biri en az 12, en çok 15 maç oynamış.
Şimdi, bu sayılardan mümkün olan minimum ve maksimum toplamı bulalım:
- En az oynayan: 12
- En çok oynayan: 15
Yalnız, herkes 12 oynasa: 8 \times 12 = 96 (ama bazıları 15 oynamış).
Herkes 15 oynasa: 8 \times 15 = 120 (ama bazıları 12 oynamış).
Her durumda toplam sayı 6x olacak.
Ancak, toplam kaç maç oynandığını bulmak için:
- Tüm oynanan oyuncu-maç: a_1 + a_2 + \dots + a_8
- Her maçta 6 kişi oynadığı için; x = \dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_8}{6}
Minimum ve Maksimum Dağılım
En çok ve en az oynayan sayılar arasında mümkün olan toplam öyle olmalı ki 6x bölünebilsin ve a_i'ler 12 ile 15 arasında olmalı.
Diyelim ki k sporcu 15 maç, kalan (8-k) sporcu 12 maç oynasın:
Toplam\ oyuncu{-}maç = 15k + 12(8-k)\\
= 15k + 96 - 12k\\
= 96 + 3k
Bu sayı 6’ya bölünmeli [6x]. Yani 96 + 3k=6x.
Buradan:
96 + 3k = 6x\\
\Rightarrow 3k = 6x - 96\\
\Rightarrow k = 2x - 32
Burada k ve x tamsayı ve 1\leq k \leq 8 olmalı.
Çözelim:
-
k en az 1: 2x - 32 \geq 1 \implies 2x \geq 33 \implies x \geq 16.5
-
k en çok 8: 2x - 32 \leq 8 \implies 2x \leq 40 \implies x \leq 20
Yani x tam sayı olarak 17, 18, 19, 20 olabilir.
Bunların k için uygun olup olmadığını kontrol edelim:
- x=17 \rightarrow k=2\times17-32=34-32=2
- x=18 \rightarrow k=36-32=4
- x=19 \rightarrow k=38-32=6
- x=20 \rightarrow k=40-32=8
Şimdi, k (en çok maç oynayan oyuncu sayısı) gerçekten 8’i aşamayacağı için uygun.
Ama maç başı en çok oynayan 15, en az oynayan 12 olmak zorunda. En az 8-k kişi 12 oynar, k kişi 15 oynar.
Sonuç:
- Olası maç sayıları: 17, 18, 19, 20
Bu durumda, bu bilgilerle kaç tane maç oynandığını %100 kesinleştiremeyiz, ama yukarıdaki çözümdeki gibi 17, 18, 19 veya 20 maç olabilir.
Eğer daha fazla bilgi verirsen (örneğin, kaç kişi kesin olarak 15 oynadı veya takım kaptanı özel bir durumdaysa), daha da daraltabiliriz.
Ama mevcut durumda, bu aralıktaki cevaplar mümkündür. İstersen tüm dağılımları örneklerle gösterebilirim.