Buna göre, [KL] ile [AB] arasındaki uzaklık kaç birimdir?

, , , ,
1

1762329084369196083404746722815
17623290843691960834047467228151920×2560 351 KB

  1. ABCDEF düzgün altıgenin [FE] ve [DC] üzerinde sırasıyla K ve L noktaları işaretleniyor.

|FK| = 4 birim, |KE| = 2 birim, m(∠EKL) = 60°’dir.

Buna göre, [KL] ile [AB] arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 2√3 B) 4 C) 5 D) 5√3 E) 6√3

2

Doğru cevap: D) 5\sqrt{3}.
KL ile AB arasındaki dik uzaklık 5\sqrt{3} birimdir.

Çözüm Özeti

Temel fikir

  • Düzgün altıgende bir kenarın uzunluğu FE=FK+KE=4+2=6 olduğundan kenar uzunluğu s=6 bulunur.
  • Koordinat sistemi koyup noktaların koordinatlarını belirleyerek K ve L noktalarını hesapladım; verilen açı koşulundan L için parametreyi bulup K ve L koordinatlarının aynı y değerinde olduğunu gördüm.
  • AB doğrusu ile KL doğrusu arasındaki dik uzaklık sadece y koordinatları farkıdır: 3\sqrt{3}-(-2\sqrt{3})=5\sqrt{3}.

Adım adım çözüm

  1. Düzgün altıgenin kenar uzunluğunu bulma: FK=4,\; KE=2 \Rightarrow FE=6 olduğundan s=6.

  2. Koordinat yerleşimi (kolay hesap için):

    • Kenar uzunluğu s için altıgenin yüksekliği r=\frac{\sqrt{3}}{2}s=3\sqrt{3} olur.
    • Noktaları şu şekilde alalım:
      • A(-3,\,3\sqrt{3}), B(3,\,3\sqrt{3}), C(6,\,0), D(3,\,-3\sqrt{3}), E(-3,\,-3\sqrt{3}), F(-6,\,0).
    • FE doğrultusunda K noktası: K=F+\tfrac{2}{3}(E-F)=(-6,0)+(2,-2\sqrt{3})=(-4,\,-2\sqrt{3}).

  3. L noktası için parametreleme:

    • D(3,\,-3\sqrt{3}) ile C(6,0) arasında L=D+u(C-D)=(3+3u,\;3\sqrt{3}(u-1)) olacak ( 0\le u\le1 ).
    • Vektörler:
      • \vec{KE}=E-K=(1,\,-\sqrt{3}) ve |\vec{KE}|=2.
      • \vec{KL}=L-K=(7+3u,\;\sqrt{3}(3u-1)).
    • Verilen açı koşulu \angle EKL =60^\circ için
      \frac{\vec{KE}\cdot\vec{KL}}{|\vec{KE}||\vec{KL}|}=\cos60^\circ=\tfrac12.
      İç çarpımı ve normları hesaplayıp çözdüğümüzde u=\tfrac{1}{3} bulunur.

  4. u=\tfrac{1}{3} iken

    • L=(4,\,-2\sqrt{3}). Dolayısıyla K(-4,\,-2\sqrt{3}) ve L(4,\,-2\sqrt{3}) aynı yatay doğruda (aynı y).
    • AB doğrusu y=3\sqrt{3} olduğundan dik uzaklık
      3\sqrt{3}-(-2\sqrt{3})=5\sqrt{3}.

TERİMLER:

düzgün altıgen: Tüm kenarları ve açıları eşit altıgen.
parametrizasyon: Bir doğru parçasının noktasını bir parametre ile ifade etme yöntemi (ör. D+u(C-D)).
vektör: Yönlü büyüklük; burada iki nokta arasındaki fark olarak kullanıldı (ör. \vec{KL}=L-K).