Soru 1-) (25 puan)
B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} ise B matrisine ait özdeğerleri ve karşılık gelen özvektörleri elde ediniz.
Bu görüntü, bir matematik sorusu içermektedir. Soru, B adlı bir matrise ait özdeğerleri ve bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri bulmayı istemektedir.
Bir matrisin özdeğerlerini bulmak için, öncelikle karakteristik polinomu hesaplamamız gerekir. Bu da şu şekilde yapılır:
\text{det}(B - \lambda I) = 0
Burada \lambda özdeğeri, I birim matris ve B ise verilen matristir. İlk adımda \lambda I matrisini buluruz:
\lambda I = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}
Şimdi B - \lambda I matrisini oluştururuz:
B - \lambda I = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - \lambda & 2 \\ 1 & 4 - \lambda \end{pmatrix}
Bu matrisin determinantını sıfıra eşitleyip çözerek karakteristik polinomu buluruz:
\text{det}(B - \lambda I) = \left| \begin{pmatrix} 5 - \lambda & 2 \\ 1 & 4 - \lambda \end{pmatrix} \right| = (5 - \lambda)(4 - \lambda) - (1 \cdot 2)
Bu denklemi sadeleştirirsek:
(5 - \lambda)(4 - \lambda) - 2 = 20 - 5\lambda - 4\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 - 9\lambda + 18
Karakteristik polinom:
\lambda^2 - 9\lambda + 18 = 0
Bu ikinci dereceden denklemi çözerek \lambda değerlerini bulalım:
\lambda = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2} = \frac{9 \pm 3}{2}
Buradan iki özdeğer elde ederiz:
\lambda_1 = \frac{9 + 3}{2} = 6
\lambda_2 = \frac{9 - 3}{2} = 3
Matris B'nin özdeğerleri 6 ve 3’tür.
Özdeğerler belirlendiğine göre, karşılık gelen özvektörleri bulmak için her bir özdeğerin \lambda yerine konularak çözülecek bir lineer denklem sistemi oluşturmalıyız.
(B - 6I)v = 0
\begin{pmatrix} 5 - 6 & 2 \\ 1 & 4 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}
Bu lineer denklem sistemini çözersek:
-v_1 + 2v_2 = 0
Buradan v_1 = 2v_2 olduğunu görürüz. Dolayısıyla, \lambda_1 = 6 için özvektör v herhangi bir skaler k ile:
v = k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}
(B - 3I)v = 0
\begin{pmatrix} 5 - 3 & 2 \\ 1 & 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
Bu lineer denklem sistemini çözersek:
2v_1 + 2v_2 = 0
Buradan v_1 = -v_2 olduğunu görürüz. Dolayısıyla, \lambda_2 = 3 için özvektör v herhangi bir skaler k ile:
v = k \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}
B matrisine ait özdeğerler ve özvektörler:
Karakteristik Polinom: Bir kare matrisin \lambda özdeğerlerine bağlı olarak oluşturulan determinantdır ve \text{det}(A - \lambda I) = 0 şeklindedir. Bu polinomun kökleri matrisin özdeğerlerini verir.
Özdeğer (Eigenvalue): Bir lineer dönüşümün ne kadar gerildiğini veya sıkıldığını ifade eden skalardır.
Özvektör (Eigenvector): Bir lineer dönüşüm sonucunda yalnızca skaler olarak değişen (yönünü değiştirmeyen) vektörlerdir.