Soru 4: Verilen Matrisin Adjugat ve Tersini Bulma
Giriş
Bize verilen matris:
A = \begin{pmatrix}
2 & 1 & -3 \\
3 & -2 & 2 \\
5 & -3 & -1
\end{pmatrix}
Bu matrise göre iki soruyu cevaplayacağız:
- adjA (adjungat matris) nedir?
- A^{-1} (ters matris) nedir?
Adjugat Matris (adjA)
Adjungat matris, bir matrisin kofaktör matrisinin transpozudur. İlk adım, bu matrisi hesaplamak için her elemanın kofaktörünü bulmaktır.
Kofaktör Matrisinin Hesaplanması
Kofaktör matrisini hesaplamak için her elemanın minorlarını bulmamız gerekiyor.
Örnek: Kofaktör C_{11}:
- C_{11} için, A matrisinin 1. satır ve 1. sütununu çıkartın ve kalan determinantı bulun.
C_{11} = \det \begin{pmatrix}
-2 & 2 \\
-3 & -1
\end{pmatrix}
= (-2 \cdot (-1)) - (2 \cdot (-3)) = 2 + 6 = 8
Örnek: Kofaktör C_{12}:
- C_{12} için, A matrisinin 1. satır ve 2. sütununu çıkartın ve kalan determinantı bulun.
C_{12} = \det \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
5 & -1
\end{pmatrix}
= (3 \cdot (-1)) - (2 \cdot 5) = -3 - 10 = -13
Bu işlemi tüm elemanlar için yaparak kofaktör matrisini buluruz:
C = \begin{pmatrix}
8 & 13 & -11 \\
-1 & -13 & 11 \\
-4 & -8 & 7
\end{pmatrix}
Adjugat Matrisini Bulma
Adjungat matris (adjA), kofaktör matrisinin transpozudur:
adjA = \begin{pmatrix}
8 & -1 & -4 \\
13 & -13 & -8 \\
-11 & 11 & 7
\end{pmatrix}
Ters Matris (A^{-1})
Bir matrisin tersi şu şekilde hesaplanır:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adjA
Determinantı (\det(A)) Hesaplama
Verilen matrisin determinantını hesaplayalım:
\det(A) = 2 \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -3 \end{vmatrix}
\det(A) = 2(((-2)(-1))-((2)(-3)))-1(((3)(-1))-((2)(5)))+(-3)(((3)(-3))-((-2)(5)))
\det(A) = 2(2+6) - 1(-3-10) - 3(-9+10)
\det(A) = 2 \cdot 8 + 13 - 3 \cdot 1 = 16 + 13 - 3 = 26
Ters Matrisi Hesaplama
A^{-1} = \frac{1}{26} \begin{pmatrix}
8 & -1 & -4 \\
13 & -13 & -8 \\
-11 & 11 & 7
\end{pmatrix}
Bu sonucu bulmak için her elemanı 26’ya böleceğiz:
A^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{8}{26} & \frac{-1}{26} & \frac{-4}{26} \\
\frac{13}{26} & \frac{-13}{26} & \frac{-8}{26} \\
\frac{-11}{26} & \frac{11}{26} & \frac{7}{26}
\end{pmatrix}
Sonuçta:
A^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{4}{13} & \frac{-1}{26} & \frac{-2}{13} \\
\frac{13}{26} & \frac{-13}{26} & \frac{-8}{26} \\
\frac{-11}{26} & \frac{11}{26} & \frac{7}{26}
\end{pmatrix}
Bu, bir matrisin adjungat ve tersini bulma yöntemine dair hem teorik hem de pratik bir açıklamadır.
TERİMLER:
Kofaktör: Bir matrisin elemanının köşegenine göre minör alınarak, bu minör matrisin determinantı kullanılarak hesaplanan değerdir.
Adjungat Matris (adjA): Bir matrisin kofaktör matrisinin transpozudur.
Ters Matris: Bir matrisin tersidir ve matris çarpımında birim matris elde edilecek şekilde hesaplanır.
