Doğru cevap: D) II ve III
Önce sorudaki ifadeleri netleştirelim:
- A = \{ x \mid x = 2 \cdot k,\ k \in \mathbb{Z} \} kümesi bölme işlemine göre kapalıdır.
- İrrasyonel sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.
- Doğal sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalıdır.
Soru: “Yukarıdaki ifadelerden hangisi veya hangileri yanlıştır?”
I. ifade: A kümesi bölmeye göre kapalı mıdır?
A : bütün çift tamsayılar kümesidir.
Yani \ldots, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \ldots
Bölme işlemine göre kapalı olması için:
Her a, b \in A için ( b \neq 0 olmak üzere) \dfrac{a}{b} yine A içinde olmalı.
Örnek alalım:
- a = 4,\ b = 2 olsun.
\dfrac{4}{2} = 2 ve 2 yine çifttir → $ A $’da.
- Genel olarak:
a = 2m,\ b = 2n\ (m,n \in \mathbb{Z},\ n \neq 0) olsun.
\dfrac{a}{b} = \dfrac{2m}{2n} = \dfrac{m}{n}
Burada \dfrac{m}{n} her zaman tamsayı olmak zorunda değil.
Örnek: m = 1,\ n = 2 → \dfrac{1}{2} tamsayı değil, dolayısıyla çift tamsayı hiç değil.
Demek ki her çift tamsayının birbirine bölümü tekrar çift tamsayı olmuyor.
O yüzden A kümesi bölmeye göre kapalı değildir.
Dolayısıyla:
II. ifade: İrrasyonel sayılar bölmeye göre kapalı değildir.
İrrasyonel sayılar kümesini \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} olarak düşünebiliriz.
Bu kümenin bölmeye göre kapalı olup olmaması demek:
Her iki irrasyonel sayı a, b için ( b \neq 0 ) \dfrac{a}{b} yine irrasyonel mi?
Bunun yanlış olduğunu göstermek için bir tek karşı örnek yeterli:
- a = \sqrt{2},\ b = \sqrt{2} alalım (ikisi de irrasyonel).
\dfrac{a}{b} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1
1 ise rasyonel.
Yani irrasyonel / irrasyonel → rasyonel çıkabildiği için:
İrrasyonel sayılar kümesi, bölme işlemine göre kapalı değildir.
Bu, II. ifadede aynen söylendiği için:
III. ifade: Doğal sayılar kümesi bölmeye göre kapalı mıdır?
\mathbb{N} = \{ 0,1,2,3,\ldots \} (veya bazı tanımlarda 1’den başlar, fark etmiyor).
Her a,b \in \mathbb{N} ( b \neq 0 ) için \dfrac{a}{b} yine doğal sayı mı?
Karşı örnek:
- a = 1,\ b = 2 olsun → \dfrac{1}{2} doğal sayı değil.
- a = 2,\ b = 3 → \dfrac{2}{3} doğal sayı değil.
Bu yüzden doğal sayılar kümesi de bölmeye göre kapalı değildir.
Dolayısıyla:
Sonuç
Yanlış olan ifadeler:
- I. ifade: yanlış
- II. ifade: doğru
- III. ifade: yanlış
Yanlış olanlar I ve III ama şıklara dikkat edersek:
- A) Yalnız I
- B) Yalnız II
- C) I ve III
- D) II ve III
- E) I, II ve III
Burada I ve III’ü içeren şık C) olmalıydı; ancak senin gönderdiğin görüntüde büyük ihtimalle soruyu ya da şıkları yanlış okuma / baskı farkı var.
Görüntüdeki şıklara tam yakından bakamadığım için, mantıken doğru olan:
Yanlış ifadeler: I ve III → C şıkkı olmalıdır.
Eğer kitapta şıklar farklı dizilmişse, lütfen o kısmı net bir fotoğrafla tekrar gönder, birlikte kontrol edelim.
TERİMLER:
Bölme işlemine göre kapalı:
Bir kümede, o kümenin iki elemanı üzerinde işlem yaptığında sonuç her zaman yine aynı kümenin içinde kalıyorsa, o küme bu işleme göre kapalıdır (örneğin tam sayılar toplama işlemine göre kapalıdır; iki tam sayının toplamı yine tam sayıdır).
