Yatayla 30 derece açı olan 18m uzunluktaki bir eğik düzlemin üzerinde m kütleli bir cisim 3s’de yere ulaşıyor. Cisim ile eğik düzlem arasındaki sürtünme katsayısını bulunuz?
Hareket Denklemleri ve Sürtünme Katsayısı Hesaplama
Bir eğik düzlem üzerinde hareket eden bir cisim için, hareket denklemleri ve sürtünme katsayısını hesaplama ile ilgili aşağıdaki adımları takip edeceğiz.
Kinematik Denklemler
Eğik düzlemde cismin ivmesini (a) bulmak için hareketin kinematik denklemlerini kullanmamız gerekir. Eğik düzlemdeki hareket, yerçekimi ivmesinin yatayla oluşturduğu açının cosinus bileşeni kadarını içerir. Cismin ulaştığı final hızı (v) ve kat ettiği yol (s) belirtilmiştir. Sürtünmesiz durumda eğik düzlem boyunca yerçekimi ivmesinin bileşeni:
[ g_{eğik} = g \cdot \sin(\theta) ]
burada g yerçekimi ivmesi (yaklaşık olarak 9.81 m/s^2) ve \theta eğik düzlem ile yatay arasındaki açıdır. Cismin sürtünmeli durumda eğik düzlemdeki ivmesi ise, sürtünme kuvvetini de hesaba katmamız gerekir.
Süre (t) ve alınan yol (s) verildiğine göre, kinematik denklemlerden bir tanesi (sabit ivmeli düzgün doğrusal harekette) şöyledir:
[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 ]
Verilenlere göre, ilk hız v_0 = 0 m/s olarak alınabilir çünkü herhangi bir başlangıç hızından bahsedilmemiştir. Yani hareket denklemini yeniden düzenleyecek olursak:
[ s = \frac{1}{2} a t^2 ]
Bu ifadeden ivmeyi bulmak için:
[ a = \frac{2s}{t^2} ]
Sürtünme Kuvveti ve Katsayısı
Hareket eden cisme etki eden sürtünme kuvveti (F_{sürtünme}) aşağıdaki formülle ifade edilir:
[ F_{sürtünme} = \mu N ]
burada \mu sürtünme katsayısı ve N normal kuvvettir. Normal kuvvet cisme, eğik düzlem üzerinde dik bir şekilde etki eden kuvvettir ve eğik düzlemdeki yerçekimi kuvvetinin cosinus bileşeni kadarını içerir:
[ N = m g \cos(\theta) ]
Cismin eğik düzlem boyunca yerçekimi altında ivmelenirken üzerinde bir sürtünme kuvveti varsa, ivmesi yerçekiminin eğik düzlem boyunca olan bileşeninin ve sürtünme kuvvetinin farkı kadar olacaktır:
[ m a = m g \sin(\theta) - \mu m g \cos(\theta) ]
Bu ifadeyi düzenleyerek sürtünme katsayısı \mu'yu çözebiliriz:
[ a = g (\sin(\theta) - \mu \cos(\theta)) ]
[ \mu = \frac{g \sin(\theta) - a}{g \cos(\theta)} ]
Hesaplama ve Sonuç
Şimdi verilen değerlerle (s=18 m, t=3 s, \theta=30^{\circ}, g=9.81 m/s^2) ivmeyi ve sürtünme katsayısını bulalım.
[ a = \frac{2s}{t^2} = \frac{2 \cdot 18 m}{(3 s)^2} = \frac{36}{9} = 4 m/s^2 ]
[ \mu = \frac{g \sin(\theta) - a}{g \cos(\theta)} = \frac{9.81 \cdot \sin(30^{\circ}) - 4}{9.81 \cdot \cos(30^{\circ})} ]
İvmeyi ve g'yi yerine yazıp hesapları yaparsak:
[ \mu = \frac{9.81 \cdot 0.5 - 4}{9.81 \cdot \sqrt{3}/2} ]
[ \mu = \frac{4.905 - 4}{8.504} ]
[ \mu = \frac{0.905}{8.504} ]
[ \mu \approx 0.106 ]
Bu durumda, sürtünme katsayısı yaklaşık olarak \mu \approx 0.106 olarak bulunur.
TERİMLER:
Eğik düzlem: Bir uç noktası yüksekte diğer uç noktası daha alçakta olan ve aralarında eğim bulunan düzlem.
Kinematik: Hareketin seyrini ve nedenlerini inceleyen fizik dalı.
Normal kuvvet: Bir yüzeye dik olarak etki eden kuvvet.
Eğik Düzlemde Sürtünme Katsayısını Bulma
Verilenler:
- Eğik düzlem açısı (θ): 30°
- Eğik düzlem uzunluğu (l): 18 m
- Cisim kütlesi (m): bilinmiyor
- Hareket süresi (t): 3 s
Bulunması Gereken:
- Sürtünme katsayısı (μ)
Çözüm:
-
Eğik düzlemde cisim üzerinde etkiyen kuvvetleri belirleyelim:
- Ağırlık kuvveti (mg): Cismi aşağıya doğru çeken, yerçekiminden kaynaklanan kuvvettir.
- Normal kuvvet (N): Eğik düzlem tarafından cisme dik yönde uygulanan kuvvettir.
- Sürtünme kuvveti (fs): Eğik düzlem ve cisim arasındaki sürtünmeden dolayı oluşan kuvvettir.
-
Kuvvetlerin bileşenlerini hesaplayalım:
- Ağırlık kuvvetinin paralel bileşeni (mg||): mg * sin(θ)
- Ağırlık kuvvetinin dik bileşeni (mg⊥): mg * cos(θ)
-
Hareket denklemlerini kullanarak cismin ivmesini bulalım:
- Yatay yönde: mg|| - fs = ma_x
- Dikey yönde: N - mg⊥ = 0
Not: Cismin yatay yönde ivmesi a_x, dikey yönde ivmesi ise 0’dır.
-
Sürtünme kuvvetini kinetik sürtünme katsayısı (μ_k) ve normal kuvvet ile gösterelim:
- fs = μ_k * N
-
Normal kuvveti dik bileşenden elde edelim:
- N = mg * cos(θ)
-
Yatay yöndeki hareket denklemini ivme için çözelim:
- a_x = (mg|| - μ_k * N) / m
-
Yol-zaman ilişkisini kullanarak cismin ivmesini bulalım:
- l = (1/2) * a_x * t^2
-
İvme için bulduğumuz iki ifadeyi eşitleyelim:
- (mg|| - μ_k * N) / m = 2l / t^2
-
Bilinen değerleri denkleme yerleştirelim ve μ_k için çözelim:
- μ_k = (2l / t^2) * (m / g) - sin(θ)
-
Eksik olan cisim kütlesini (m) denkleme dahil edelim:
- μ_k = (2l / t^2) * (g / sin(θ)) - 1
-
Verilen değerleri denkleme yerleştirelim:
- μ_k = (2 * 18 m / 3 s^2) * (9.81 m/s^2 / sin(30°)) - 1
- μ_k = 0.24
Sonuç:
Eğik düzlem ve cisim arasındaki sürtünme katsayısı μ_k = 0.24’tür.
Not:
- Bu çözümde cismin kütlesinin bilinmediği varsayılmıştır. Cisim kütlesi biliniyorsa, denkleme doğrudan kütlesi yerleştirilebilir.
- Bu çözümde kinetik sürtünme katsayısı (μ_k) hesaplanmıştır. Statik sürtünme katsayısını (μ_s) bulmak için farklı bir deney veya yöntem gereklidir.
Ek Bilgiler:
- Sürtünme katsayısı, iki yüzey arasındaki sürtünme kuvvetinin normal kuvvete oranıdır.
- Sürtünme katsayısı, yüzeylerin malzemelerine, pürüzlülüklerine ve diğer faktörlere bağlı olarak değişir.
- Sürtünme katsayısı, eğik düzlemlerde cisimlerin hareketini analiz etmek için kullanılır.
Umarım bu çözüm size yardımcı olmuştur.