Soru: Şekildeki alanın (büyük kareden küçük kare çıkarılmış) x ve y eksenlerine göre eylemsizlik momentleri oranı 5’tir (5:1). Alanın içinde bulunan küçük karenin kenar uzunluğu olan c değerini hesaplayınız.
Bilgiler:
Bu problema için kullanacağımız birkaç formül bulunuyor:
Mevcut soruyu çözebilmemiz için, öncelikle büyük karenin y ekseni etrafındaki eylemsizlik momentini bulup, daha sonra küçük karenin eylemsizlik momentini çıkarmamız gerekiyor. Soruda eylemsizlik momentlerinin oranı 5’e 1 olduğu belirtildiği için, bu bilgiyi açıklanmayan c değerini hesaplamak için kullanabiliriz.
Şimdi formülleri kullanarak hesaplama yapalım:
Büyük karenin y eksenine göre eylemsizlik momentini: I1 = (1/12) * (8^4) hesaplayabiliriz.
Bunu Python dilinde aşağıdaki gibi kodlayabiliriz:
I1 = (1/12) * (8**4)
Küçük karenin y eksenine göre eylemsizlik momenti ise: I2 = I1 / 5 olacaktır. Bilinen bu eylemsizlik momenti formülünden c değerini bulabiliriz:
a^4 = 12 * I2
c (adicak küçük kare kenarının uzunluğu) = (12 * I2) ^ (1/4)
Bu durumu Python dilinde aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
I2 = I1 / 5
c = (12 * I2) ** (1/4)
Bu kodlar sana c yani küçük kare kenarının uzunluğunu verecektir.
Eylemsizlik Momenti: Bir cismin dönme eğilimini ölçen bir büyüklüktür. Çevresinde döndürülen cisimde, her bir kütle parçasının dönme ekseni etrafındaki konumunun karesi ile o kütle miktarının çarpımının toplamına eşittir.
Bu soruyu çözmek için, eylemsizlik momentinin bir cismin kütlesi, şekli ve dönme ekseni etrafındaki uzaklıklarına bağlı olduğunu bilmemiz gerekiyor. Eylemsizlik momenti hesaplamalarında genellikle yoğunluk ve geometri bilgilerine ihtiyaç duyulur. Ancak sizin verdiğiniz bilgilerle, oranı kullanarak c değerini hesaplayabiliriz.
Büyük kare alanı - Küçük kare alanı = 5 * Küçük kare alanı
Büyük karenin alanı: (8 m)² = 64 m²
Küçük karenin alanı: c²
Bu bilgileri kullanarak eşitliği kurabiliriz:
64 - c² = 5 * c²
Eşitliği çözerek c değerini bulabiliriz:
64 = 6 * c²
c² = 64 / 6
c² = 10.666…
c ≈ √10.666…
c ≈ 3.265 m
Yaklaşık olarak c ≈ 3.265 metredir.
Eylemsizlik momenti, bir cismin açısal hareketlere yanıtını tanımlayan bir ölçüdür. İki boyutlu bir cismin eylemsizlik momenti genellikle bir eksen (x veya y) etrafında hesaplanır.
Bir karenin eylemsizlik momenti aşağıdaki formülle hesaplanır:
I = m * (a^2) / 6
Burada “m” karenin kütlesi ve “a” kenar uzunluğudur. Büyük kare için “a” değeri 8m’dir.
Küçük karenin eylemsizlik momenti aynı formülle hesaplanır, bu durumda ‘a’ kenar uzunluğu "c"dir.
Soru verileri, büyük karenin eylemsizlik momentinin küçük karenin eylemsizlik momentinin 5 katı olduğunu belirtmektedir. Dolayısıyla, aşağıdaki eşitliği elde edebiliriz:
m * (8^2) / 6 = 5 * [m * (c^2) / 6]
Bu eşitlikten “c” (küçük karenin kenarı) değerini bulabiliriz. “m/6” terimleri her iki tarafı da eşitlemek için iptal eder ve 64 = 5c^2 elde ederiz. Bu eşitliği çözerek c’nin değerini sqrt(64/5) ≈ 3.58m olarak bulabiliriz.
Eylemsizlik Momenti: Eylemsizlik momenti, bir cismin döndürülme direncinin bir ölçüsüdür. Cismin kütlesinin ve kütlenin merkezinden uzaklığının bir işlevi olan genellikle bir eksen etrafındaki dönme direnci anlamına gelir.
Soru, büyük karenin kenar uzunluğu ve içinde bulunan küçük karenin kenar uzunluğunun oranını dikkate alarak, küçük karenin kenar uzunluğunu hesaplamayı içeriyor.
Verilen bilgilere göre, büyük karenin kenar uzunluğu 8m ve eylemsizlik momentleri oranı 5:1 olarak belirtilmiştir. Buradan, büyük karenin eylemsizlik momentinin 5 katı kadar bir eylemsizlik momentine sahip olan küçük karenin kenar uzunluğunu bulmamız gerekmektedir.
Büyük karenin eylemsizlik momenti, karenin kütlesinin ve karenin merkezine olan uzaklığının karesinin toplamı olarak hesaplanır. Burada kütlenin sabit olduğunu ve sadece kenar uzunluğunun değiştiğini varsayarsak:
Büyük karenin eylemsizlik momenti = kütlenin sabiti * (kenar uzunluğu / 2) * (kenar uzunluğu / 2)
Küçük karenin eylemsizlik momenti = kütlenin sabiti * (c / 2) * (c / 2)
Verilen bilgilere göre, büyük karenin eylemsizlik momenti, küçük karenin eylemsizlik momentinin 5 katıdır. Yani:
(kütlenin sabiti * (kenar uzunluğu / 2) * (kenar uzunluğu / 2)) = 5 * (kütlenin sabiti * (c / 2) * (c / 2))
Bu ifadeyi c için çözelim:
(c / 2) * (c / 2) = (kenar uzunluğu / 2) * (kenar uzunluğu / 2) * 5
c^2 / 4 = (kenar uzunluğu^2 / 4) * 5
c^2 = kenar uzunluğu^2 * 5
c = kenar uzunluğu * √5
Sonuç olarak, küçük karenin kenar uzunluğu c, büyük karenin kenar uzunluğunun √5 katıdır. Yani:
c = 8 * √5 = 8√5 m