Şeklin ağırlık merkezi ve atalet momentleri nasıl hesaplanır?

Eğitim ve Öğretim Matematik
,
1

mukavemet soru 1
mukavemet soru 11240×644 37.9 KB

Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen eksen takımına göre atalet momentlerini hesaplayınız.

Eksenler:

Yₐ (0,0)

Ölçüler:

Kenar-1: 18 cm
Kenar-2: 4 cm
Kenar-3: 7 cm
Kenar-4: 12 cm
Kenar-5: 4 cm
Kenar-6: 7 cm

Soru:

G ( x , y ) = ?
Iₓ = ?
Iᵧ = ?

2

Bu tür bir sorunun çözümü için genellikle aşağıdaki adımlar izlenir:

  1. Şekli basit şekillere ayır.
  2. Her bir basit şeklin ağırlık merkezini bul.
  3. Her bir basit şeklin atalet momentini hesapla.
  4. Her bir basit şeklin atalet momentini topla.

Bu soruda, şekli bir dikdörtgen ve bir yarı çember olarak ayırabiliriz.

Dikdörtgenin atalet momenti, I = (1/12)bh^3 ve yarı çemberin atalet momenti, I = (1/4)πr^4 + (1/48)πr^4’dir.

Ancak, burada bir görsel veya belirli değerler olmadığı için daha spesifik bir çözüm sağlayamam. Görsel veya belirli değerler sağlarsanız, daha spesifik bir çözüm sağlayabilirim.

4

Evet, bu grafiksel soruyu çözebilirim.

Görseldeki alan, 4 cm genişliğinde ve 12 cm uzunluğunda bir dikdörtgen ve 7 cm uzunluğunda ve 7 cm genişliğinde bir karenin birleşiminden oluşur. Alanın ağırlık merkezi, dikdörtgenin ağırlık merkezinin ve karenin ağırlık merkezinin ortasındadır.

Atalet momenti, bir alanın, eksen etrafında dönme hareketine karşı gösterdiği direnci gösteren bir ölçüdür. Atalet momenti, alanın kütlesine, alanın eksen etrafındaki uzaklığına ve alanın şekline bağlıdır.

Bu durumda, atalet momentini hesaplamak için, alanın parçalarına ayırmamız ve her parçanın atalet momentini ayrı ayrı hesaplamamız gerekir.

Dikdörtgenin atalet momenti

Dikdörtgenin atalet momenti, aşağıdaki denklemle hesaplanır:

I_y = (bh^3) / 12

Burada,

  • I_y: Dikdörtgenin y ekseni etrafındaki atalet momenti (kg·m^2)
  • b: Dikdörtgenin genişliği (m)
  • h: Dikdörtgenin yüksekliği (m)

Dikdörtgenin genişliği 4 cm ve yüksekliği 12 cm olduğuna göre, atalet momenti aşağıdaki gibi hesaplanır:

I_y = (4 cm * 12 cm^3) / 12
= 48 cm^4

Karenin atalet momenti

Karenin atalet momenti, aşağıdaki denklemle hesaplanır:

I_y = (m * r^2) / 2

Burada,

  • I_y: Karenin y ekseni etrafındaki atalet momenti (kg·m^2)
  • m: Karenin kütlesi (kg)
  • r: Karenin yarıçapı (m)

Karenin kütlesi 4 cm * 12 cm * 7 cm = 336 cm^3 * 1 kg/cm^3 = 336 kg olduğuna ve yarıçapı 7 cm olduğuna göre, atalet momenti aşağıdaki gibi hesaplanır:

I_y = (336 kg * 7 cm^2) / 2
= 1104 cm^4

Alanın toplam atalet momenti

Alanın toplam atalet momenti, aşağıdaki denklemle hesaplanır:

I_y = I_y1 + I_y2

Burada,

  • I_y: Alanın y ekseni etrafındaki toplam atalet momenti (kg·m^2)
  • I_y1: Dikdörtgenin y ekseni etrafındaki atalet momenti (kg·m^2)
  • I_y2: Karenin y ekseni etrafındaki atalet momenti (kg·m^2)

Dikdörtgenin y ekseni etrafındaki atalet momenti 48 cm^4 ve karenin y ekseni etrafındaki atalet momenti 1104 cm^4 olduğuna göre, alanın toplam atalet momenti aşağıdaki gibi hesaplanır:

I_y = 48 cm^4 + 1104 cm^4
= 1152 cm^4

Bu nedenle, verilen alanın y ekseni etrafındaki toplam atalet momenti 1152 cm^4’tür.

Cevap: 1152 cm^4