Altın Dikdörtgenin Alanını Hesaplama
Altın oran, \frac{1 + \sqrt{5}}{2} olarak tanımlanmıştır. Bu oranı kullanarak, 8 metre uzunluğundaki tel ile elde edilen bir altın dikdörtgenin alanını hesaplayacağız.
Altın Oran ve Dikdörtgenin Boyutları
Bir altın dikdörtgende, uzun kenar a ve kısa kenar b olup bu kenarların oranı altın orana eşittir:
\frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
Bu ifade, uzun kenarın kısa kenara olan oranıdır:
a = b \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
Dikdörtgenin Çevresi
8 metre uzunluğunda bir tel ile dört kenarlı bir dikdörtgen oluşturduğumuza göre, dikdörtgenin çevresi şu şekilde ifade edilir:
2a + 2b = 8
2 \left( b \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) + 2b = 8
Denklemi sadeleştirebiliriz:
b \cdot (1 + \sqrt{5}) + 2b = 8
Ortak terim b’yi dışarı çıkararak:
b \cdot (3 + \sqrt{5}) = 8
b’yi yalnız bırakalım:
b = \frac{8}{3 + \sqrt{5}}
b’yi rasyonel hale getirmek için paydasını rasyonelleştiririz:
b = \frac{8 (3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}
b = \frac{8 (3 - \sqrt{5})}{9 - 5}
b = \frac{8 (3 - \sqrt{5})}{4}
b = 2 (3 - \sqrt{5})
Uzun Kenar a'yı Hesaplama
Uzun kenarı bulmak için a = b \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} formülünü kullanırız:
a = 2 (3 - \sqrt{5}) \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
a = (3 - \sqrt{5}) \cdot (1 + \sqrt{5})
Çarpanları dağıtalım:
a = 3(1) + 3(\sqrt{5}) - \sqrt{5}(1) - (\sqrt{5})(\sqrt{5})
a = 3 + 3 \sqrt{5} - \sqrt{5} - 5
a = 3 - 5 + 2 \sqrt{5}
a = -2 + 2 \sqrt{5}
Dikdörtgenin Alanını Hesaplama
Alanı bulmak için kısa ve uzun kenarların çarpımı gerekiyor:
A = a \cdot b
A = [2(3 - \sqrt{5})] \cdot [-2 + 2 \sqrt{5}]
A = 2(3 - \sqrt{5})(-2 + 2 \sqrt{5})
Çarpanları dağıtalım:
A = 2 \left( 3(-2) + 3(2\sqrt{5}) - \sqrt{5} (-2) - \sqrt{5} (2 \sqrt{5}) \right)
A = 2 \left( -6 + 6 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 10 \right)
A = 2 \left( -16 + 8 \sqrt{5} \right)
A = -32 + 16 \sqrt{5}
Bu, cevabımızın şu seçeneğe denk geldiği anlamına gelir:
C) 16\sqrt{5} - 32
Diğer Seçeneklerin Değerlendirilmesi
Diğer seçeneklerin neden yanlış olduğunu anlayıp kontrol edebiliriz:
A) 32\sqrt{5} - 64
A = 2(-16 + 8\sqrt{5})\neq 32 \sqrt{5} - 64
B) \frac{8\sqrt{5}}{5}
Bu ifade temel olarak alan hesabımızla ilişkili değildir.
D) 32\sqrt{5} - 8
Yanlış çünkü alan hesaplama adımlarında farklı bir sayı değildir.
E) 16\sqrt{5} - 24
Yanlış çünkü bu durumda hesaplamalarımızın sonucuyla uyuşmaz.
Sonuç
Cevabımız C) 16\sqrt{5} - 32 'dir.
TERİMLER:
Altın Oran: \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, genellikle estetik ve mimari tasarımlarda kabul edilen özel bir orandır.
Rasyonelleştirme: Bir kesirin paydasını kökten kurtarma işlemi.
