Birimli bir halkada bir elemanın çarpımsal tersi tektir gösterin.
@Filiz_Ozdemir tarafından gündeme getirilen “Birimli bir halkada bir elemanın çarpımsal tersinin tek (unique) olduğunu gösterin” ifadesi ile ilgili matematiksel bir açıklama yapalım.
Birimli bir halka, çarpma işlemi için birim elemana (genellikle 1) sahip olan bir halkadır. Bir halkada bir elemanın çarpımsal tersi, çarpma işlemi sonucunda birim elemanı veren başka bir elemandır.
Diyelim ki birimli bir halkada ‘a’ elemanının iki tane çarpımsal tersi var: ‘b’ ve ‘c’ (yani b × a = a × b = 1 ve c × a = a × c = 1). ‘b’ ve ‘c’ nin birbirine eşit olduğunu göstermek istiyoruz. Bunu ispatlamak için şu adımları takip edebiliriz:
-
b × a = 1 olduğundan, her iki tarafı da ‘c’ ile çarparız:
c × (b × a) = c × 1 -
Çarpmanın değişme özelliğini kullanarak düzenleriz:
(c × b) × a = c -
Ama c × a = 1 olduğundan, c × b = 1 × b = b olur.
Sonuç olarak, c = b olduğunu buluruz. Bu, a’nın çarpımsal tersinin tek olduğunu gösterir, çünkü ‘b’ ve ‘c’ aynı çıktı (her ikisi de a’nın tek çarpımsal tersi).