Cisim içinde kapsanan her birimli halkanın bir tamlık bölgesi olduğunu gösteriniz
Bir cisim, matematiksel anlamda sıfırdan farklı her elemanının tersine sahip olduğu, dolayısıyla her iki taraftan de bölünebilir özelliğe sahip bir yapıdır. Örneğin, rasyonel sayılar kümesi olan Q, reel sayılar kümesi R veya karmaşık sayılar kümesi C birer cisimdir.
Birimli halka ise, çarpmaya göre birim elemanı (genellikle 1 olarak adlandırılır) içeren ve çarpma ile toplama işlemleri altında kapalı olan bir yapıdır.
Bir tamlık bölgesi tanımı ise, çarpma işlemi altında sıfır çarpanları olmayan (yani ab = 0 ⇒ a = 0 veya b = 0) birimli bir halkadır.
Şimdi, bir cisim içinde yer alan herhangi bir birimli halkanın neden bir tamlık bölgesi olduğunu ispatlayalım:
-
Birim Elemenin Varlığı: Cisim içindeki her halka birimli olduğu için, 1’e sahiptir.
-
Sıfır Bölenlerin Olmaması: Bir cisimde, sıfırdan farklı her eleman tersine sahiptir. Bu, cismin sıfır bölenlere sahip olmadığı anlamına gelir (yani, ab = 0 ise ya a = 0 ya da b = 0 olmalıdır). Cisim içindeki her birimli halkanın bir alt kümesi olduğu ve sıfır bölenlerin olmadığı düşünüldüğünde, bu halka içinde de sıfır bölen olmamalıdır.
-
Kapalılık Özellikleri: Bir halka, çarpma ve toplama işlemleri altında kapalı olduğundan dolayı, cisim içindeki bir halka da bu işlemlerle kapalıdır.
Bu noktalardan dolayı, bir cismin içindeki her birimli halka aynı zamanda bir tamlık bölgesidir. Bunun nedeni, cismin sıfır bölen içermemesi ve tamlık bölgesinin temel özelliği olan sıfır çarpanların olmaması şartını doğrudan sağlamasıdır.
Tamlık B¨olgeleri ve Cisimler
Bölüm 2.pdf (144.8 KB)
Halkalar - Tamlık Bölgesi - Cisim - Sıfır Bölen | Soyut Cebir - Alper ÇAKIR
1- Halka tanımı ve Tamlık Bölgeleri
Halkalar (1)
Tamlık Bölgesi-Cisim (6)
1 Beğeni