Q(√2) birimli ve değişmeli halkasının cisim olduğunu gösterir misin?
Matematiksel terimlerle, Q(\sqrt{2}), rasyonel sayılar kümesi olan Q üzerine \sqrt{2} eklenerek genişletilmiş bir cisimdir. Bu yapıya genelde kuadratik bir genişleme denir ve formülasyonu \{a + b\sqrt{2} : a, b \in \mathbb{Q}\} şeklindedir.
Bir yapının cisim olması için, kapalı, değişmeli birimli bir halka olması ve sıfırdan farklı her elemanının çarpmaya göre tersinin bulunması gerekmektedir. Q(\sqrt{2})'nin cisim olduğunu göstermek için aşağıdaki özellikleri doğrulamamız gerekiyor:
-
Kapalılık: Herhangi a, b, c, d \in \mathbb{Q} için, (a + b\sqrt{2}) + (c + d\sqrt{2}) ve (a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2}) ifadelerinin her ikisi de a', b' \in \mathbb{Q} şeklinde a' + b'\sqrt{2} formunda olmalıdır.
-
Birim Eleman: 1 bu cismin birim elemanıdır çünkü herhangi bir a + b\sqrt{2} için (a + b\sqrt{2}) \cdot 1 = a + b\sqrt{2}.
-
Çarpmaya Göre Tersinirlik: a + b\sqrt{2} \neq 0 ise, bu ifadenin çarpmaya göre tersinin bulunması gerekmektedir. Ters, genelde \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2} şeklinde hesaplanır, ancak burada önemli olan a^2 - 2b^2 \neq 0 koşulunun sağlanmasıdır ki bu, a ve b'nin aynı anda sıfır olmamasıyla garantilenir.
Yukarıdaki şartlar sağlandığı zaman, Q(\sqrt{2}) bir cisimdir. Matematiksel ispat ve kavramlar, genelde daha teknik ve detay gerektirir, bu yüzden temel matematik veya soyut cebir konularına aşina olmak bu tür bir tartışmada yardımcı olacaktır.