Bir tahtaya 5, 10, 15, 20, 25, 30,35, 40 sayıları yazılmıştır. k bir pozitif tam sayı olmak üzere, her işlemde tahtadaki sayılardan k tanesi seçiliyor ve seçilmiş her sayı 1 azaltılıyor. Birkaç işlem sonucunda tahtadaki tüm sayıları 0 yapmak mümkünse, k 'ye uygun sayı diyelim. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sayılarından kaç tanesi uygun sayıdır?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Bize tahtada yazılı 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 gibi sayılar veriliyor ve her işlemde seçilen k tane sayı 1 azaltılmak suretiyle sıfıra indirgenmeye çalışılıyor. Buradaki kritik konu, tahtadaki tüm sayıları sıfıra indirebileceğimiz k değerlerini bulmak.
Tahtada yazılı sayıların toplamı:
$$ 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 = 180 $$
Bu toplamın k'nın bir katı olması gerektiğini gözlemliyoruz. Çünkü her seferinde k tane sayıdan 1 çıkartılıyor ve son toplam sıfır olacak.
Her işlemde k tane sayıyı 1 azaltıp nihayetinde toplamı sıfıra indireceğimiz için 180, k'nın bir tam katı olmalıdır. Bu nedenle k değerleri, 180’i kalansız bölebilen sayılar olmalıdır.
180’in bölenlerini bulmamız gerekiyor:
Buradan sadece 1, 2, 3, 4, 5 ve 6’nın uygun sayılar olarak karşımıza çıktığını anlıyoruz. 7 ve 8 ise 180’in katı değildir.
Verilen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sayılarından uygun olanlar 1, 2, 3, 4, 5, ve 6’dır. Toplamda 6 tane uygun sayı vardır.
Kat: Bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalan sıfır olması durumudur. Örneğin, 180 sayısı 6 ile tam bölünüyor; dolayısıyla 6, 180’in bir kat sayısıdır.
Kalansız Bölünme: Bir sayının başka bir sayıya tam olarak bölünebilmesi durumu. Kalan sıfırdır. Örneğin, 180 sayısı 5’e bölündüğünde kalan 0 olur, bu da kalansız bir bölünmedir.
Anlayış:
Çözüm:
k değerlerinin analizi:
Sonuç:
Verilen sayılar arasından sadece 1 uygun sayıdır. Diğer tüm değerler için tahtadaki tüm sayıları sıfıra indirmek mümkün değildir.
Cevap: 1
Ek Açıklama:
Bu problemin çözümünde, sayıların toplamındaki değişimi ve bu değişimin k değeriyle ilişkisini inceledik. Sayıların 5’in katı olması ve toplam azalmanın her zaman k ile bir tam sayının çarpımı olması gibi özellikler, çözümü daha kolay hale getirdi.
Özetle:
Umarım bu açıklama problem çözme sürecinizi daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Başka sorularınız olursa çekinmeden sorabilirsiniz.
Öyleyse, bir hata yapmış olabilirim. Soruyu tekrar inceleyelim.
Tahtadaki sayılar 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Bunların toplamı:
Bu toplamın 0’a indirilebilmesi için her işlemde seçilen k tane sayıdan her biri 1 azalıyor. O zaman toplam 180 birim azalma gereklidir.
Her işlemde toplam k kadar azalma olur. Eğer tahtadaki tüm sayıları 0 yapmak mümkünse, bu toplam 180’in k ile tam bölünebilir olması gerekir, yani 180 \mod k = 0 olmalıdır.
180’in bölenleri şunlardır:
Bu bölenler arasında 1, 2, 3, 4, 5, 6 vardır. Ancak 7 ve 8, 180’in böleni değildir, dolayısıyla uygun değildir.
k uygun olanlar 1, 2, 3, 4, 5, 6 'dır. Bu durumda seçeneklerden sadece 5 tanesi uygun oluyor.
Cevap: \boxed{5}
