- Bir cismin hızı zamanla V = 5t^2 + 2t + 3 m/s ile değişiyor.
a) Cismin t = 2 ile t = 4. saniyeler arasında ortalama ivmesi nedir?
b) Cismin t = 3. s’deki anlık ivmesi nedir?
Cismin Hız Değişimi ve İvme Hesaplamaları
Verilen hız fonksiyonu V(t) = 5t^2 + 2t + 3 m/s cismi hakkında iki farklı hesaplama yapmamızı gerektiriyor: ortalama ivme ve anlık ivme.
a) Ortalama İvme Hesabı
Ortalama ivme, bir cismin hızının belirli bir zaman aralığında nasıl değiştiğini gösteren bir büyüklüktür. Ortalama ivme, hızın zaman aralığına bölünmesiyle hesaplanır.
Adımlar:
-
Hız Fonksiyonunu Değerlendirme: Öncelikle, t = 2 ve t = 4 için hız değerlerini bulmamız gerekiyor.
- V(2) = 5(2^2) + 2(2) + 3 = 5(4) + 4 + 3 = 20 + 4 + 3 = 27 m/s
- V(4) = 5(4^2) + 2(4) + 3 = 5(16) + 8 + 3 = 80 + 8 + 3 = 91 m/s
-
Hız Değişimini Hesaplama:
- \Delta V = V(4) - V(2) = 91 - 27 = 64 m/s
-
Zaman Değişimini Hesaplama:
- \Delta t = 4 - 2 = 2 s
-
Ortalama İvme Hesabı:
- Ortalama ivme, \bar{a} = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{64}{2} = 32 m/s²
Sonuç olarak, cismin t = 2 ile t = 4. saniyeler arasında ortalama ivmesi 32 m/s²’dir.
b) Anlık İvme Hesabı
Anlık ivme, belirli bir andaki ivmeyi belirten bir değerdir ve zamanla değişen hızın, zamanın bir türevi ile ifade edilmesiyle hesaplanır.
Adımlar:
-
Hız Fonksiyonunu Türevini Alma:
- V(t) fonksiyonunun türevini alarak anlık ivmeyi buluruz:
- a(t) = \frac{dV(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 + 2t + 3) = 10t + 2
-
Anlık İvme Hesabı:
- Anlık ivmeyi t = 3’te bulmalıyız:
- a(3) = 10(3) + 2 = 30 + 2 = 32 m/s²
Sonuçta, cismin t = 3. saniyedeki anlık ivmesi 32 m/s²’dir.
Sonuçlar
- Ortalama İvme (t = 2 ile t = 4 arasında): 32 m/s²
- Anlık İvme (t = 3’te): 32 m/s²
TERİMLER:
Ortalama İvme: Belirli bir zaman aralıkları arasında hız değişiminin zamana oranı.
Anlık İvme: Belirli bir anda, hızın değişim oranı; hız fonksiyonunun türevidir.
m/s²: Metre/saniye kare cinsinden ivme birimi.