Problem Analizi ve Hipotez Testi
Araştırmacı, iki farklı marka pilin dayanıklılık sürelerini karşılaştırmak istemektedir. Bu durumda, iki örnek ortalamayı karşılaştırma testi yapılmalıdır. Hipotez testinin adımlarını izleyip gerekçelendirerek doğru cevabı bulalım.
Hipotezlerin Belirlenmesi
- Null Hipotezi ((H_0)): A markasının ortalama dayanıklılık süresi, B markasının ortalama dayanıklılık süresine eşittir.
H_0: \mu_A = \mu_B
- Alternatif Hipotez ((H_a)): A markasının ortalama dayanıklılık süresi, B markasının ortalama dayanıklılık süresinden büyüktür.
H_a: \mu_A > \mu_B
Test Türü ve İstatistiği
Bu problemde iki örneklem ortalamasını karşılaştırdığımızdan dolayı t-testi kullanacağız. Ancak örneklem büyüklükleri büyük olduğundan (n > 30), yaklaşık olarak z-testi de kullanılabilir.
Z-testi istatistiği şu formül ile hesaplanır:
Z = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_B}{\sqrt{\frac{s_A^2}{n_A} + \frac{s_B^2}{n_B}}}
- (\bar{X}_A): A markasının örnek ortalaması (200 saat)
- (\bar{X}_B): B markasının örnek ortalaması (190 saat)
- (s_A): A markasının örnek standart sapması (30 saat)
- (s_B): B markasının örnek standart sapması (20 saat)
- (n_A): A markasından alınan örnek sayısı (30)
- (n_B): B markasından alınan örnek sayısı (50)
Test İstatistiğinin Hesaplanması
Formülü kullanarak Z değerini hesaplayalım:
Z = \frac{200 - 190}{\sqrt{\frac{30^2}{30} + \frac{20^2}{50}}}
Önce paydayı hesaplayalım:
\sqrt{\frac{30^2}{30} + \frac{20^2}{50}} = \sqrt{\frac{900}{30} + \frac{400}{50}} = \sqrt{30 + 8} = \sqrt{38} \approx 6.16
Bu durumda:
Z = \frac{10}{6.16} \approx 1.62
Kritik Değer
Teste göre, A markasının ortalama dayanıklılık süresinin B markasından büyük olup olmadığını test ediyoruz ve önem seviyemiz 0.05 olduğundan test bir yönlü (right-tailed test) olacaktır. Bu durumda 0.05 seviyesinde kritik değer z-tablosundan 1.645 olarak bulunur.
Karar Verme
Bulduğumuz Z değeri (\approx 1.62), kritik değeri 1.645’ten küçük olduğundan sıfır hipotezini reddedemeyiz.
Sonuç olarak doğru cevabımız b) 1.645’ten büyük ise olacaktır.
Diğer Seçeneklerin Gerekçeleri
a) 1.96’dan büyük veya -1.96’dan küçük olursa
1.96 değeri, iki yönlü testlerde %5 seviyesinde kritik değere denk gelir. Ancak bu testimiz tek yönlü olduğu için uygun değildir.
b) 1.645’ten büyük ise
Doğru seçenek. Tek yönlü testte 0.05 önem seviyesinde kritik değeri olan 1.645’e göre doğrudur.
c) -1.645’tan küçük ise
Bu seçenek, alternatif hipotezin ortalamaların küçük olmasını test eder; bizim hipotezimiz ise ortalamanın büyük olmasını test ediyor.
d) -1.96’dan küçük ise
Bu değer, iki yönlü test için kullanılır ve bu durumda hipotezimizde olmayan bir durumu kapsar.
e) -1.65’den küçük veya 1.65’den büyük ise
Bu değerler doğru hipotezi temsil etmez; ayrıca karışık sınırları içerir ve 1.645 ile uyumsuzdur.
TERİMLER:
Z-testi: İki örneklem arasındaki istatistiksel farkı değerlendirmek için kullanılan bir test türüdür.
T-testi: Küçük örneklemler için, iki grubun ortalamalarını karşılaştırmak için kullanılan bir test türüdür.
Kritik Değer: Belirli bir güven seviyesi altında, test istatistiğinin sıfır hipotezini reddetmek için aşması gereken sınır değeri ifade eder.
Önem Seviyesi (α): Bir hipotez testinde, yanlışlıkla sıfır hipotezini reddetme olasılığıdır.
