Aşağıda bir öğrencinin kareli defterine çizdiği doğrular görülmektedir.
Buna göre, \beta açısının \alpha ve \theta açıları türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisine kesinlikle eşittir?
A) \alpha + \theta
B) 2\alpha - \theta
C) \theta - \alpha
D) 90 - \alpha + \theta
E) 2\theta + \alpha
Bu resim, bir matematik sorusunu içermektedir. Bir öğrencinin kareli deftere çizdiği doğrular arasındaki açısal ilişkileri inceleyerek, \beta açısını \alpha ve \theta cinsinden ifade etmeye çalışmaktadır. Soruda verilen seçeneklerden hangisinin doğru olduğu sorulmaktadır.
Kesişim noktasından geçen yatay bir doğru düşün. Soldaki α, mavi doğrunun yatayla yaptığı açı; soldaki θ ise mor doğrunun yatayla yaptığı açıdır (kareli kağıt üzerindeki paralel yataylar nedeniyle bu açılar kesişimdeki karşılıklarıyla aynıdır).
β, iki doğrunun kesişimindeki birbirine bakan küçük açıdır; biri yatayın üstündeki mavi açısı (α), diğeri yatayın altındaki mor açısı (θ) ile toplanarak oluşur. Yani mavi ile mor doğrunun arasındaki açı, yatayla yaptıkları açıların toplamıdır.
Kesişim noktasından geçen bir yatay doğrusu çiz (kareli kağıttaki yataylar zaten paralel, bu yüzden soldaki verilen açılar karşılık açılar olarak aynıdır).
Soldaki mavi açı α, mavi doğrunun yatayla yaptığı açı (yatayın üstünde).
Soldaki mor açı θ, mor doğrunun yatayla yaptığı açı (yatayın altında).
Kesişim noktasındaki β, iki doğrunun birbirine bakan küçük açısıdır — yani mavi doğrunun yatayın üstündeki açısı ile mor doğrunun yatayın altındaki açısının birleşimi olarak oluşur.
Mavi doğrunun yataya yaptığı açı = α (üst tarafta).
Yatay ile mor doğrunun arasındaki açı = θ (alt tarafta).
Bu iki açı yan yana gelip mavi ile mor arasındaki açıyı oluşturur.
Dolayısıyla β = α + θ.
Sonuç: Doğru seçenek A) α + θ.
İstersen izleyerek bir sayı örneği (ör. α = 30°, θ = 25° → β = 55°) ya da çizim üstü gösterim ile teyit edeyim.
Giriş
Soru, iki doğrunun kareli kâğıttaki konumlarından hareketle β açısını, yataya göre ölçülmüş α ve θ açıları cinsinden bulmayı istiyor. Temel fikir: Kesişim noktasından geçen bir yatay çizgi alıp, doğruların bu yatayla yaptıkları açılardan yararlanmak.
Analiz
Kareli kâğıttaki tüm yatay çizgiler paraleldir. Kesişim noktasından geçen bir yatay doğru düşünelim.
Mavi doğru ile bu yatayın oluşturduğu dar açı, paralellikten dolayı α’ya eşittir (karşılık açılar).
Mor doğru ile aynı yatayın oluşturduğu dar açı da θ’dır (yine karşılık açılar).
β, iki doğrunun kesişimindeki küçük (dar) açıdır. Bu küçük açı, mavi doğrunun yataydan sapması (α) ile mor doğrunun yataydan sapmasının (θ) toplamıdır:
β = α + θ.
Alternatif doğrulama (yön açılarıyla):
Mavi doğrunun +x ekseni ile yaptığı yön açısı φ_mavi = 180° − α, mor doğrununki φ_mor = θ’dir.
İki doğru arasındaki küçük açı
β = min(|φ_mavi − φ_mor|, 180° − |φ_mavi − φ_mor|).
Buradan |φ_mavi − φ_mor| = |(180° − α) − θ| = 180° − (α + θ).
Dolayısıyla küçük olan
β = 180° − [180° − (α + θ)] = α + θ.
Bu, şekilde β’nin dar açı olarak işaretli olduğu durumda her zaman geçerlidir.
