- (310212)¹⁴⁰ . (4232)²⁵⁶ çarpımının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 5
E) 7
Bu soruyu çözebilmek için modüler aritmetiği kullanacağız. Modüler aritmetikte, bir sayının diğer sayıya bölümünden kalanı hesaplamak için mod alınır.
Öncelikle verilen sayıları hesaplayalım:
(310212)¹⁴⁰ = (310212 * 310212 * … * 310212) 140 tane çarpım
(4232)²⁵⁶ = (4232 * 4232 * … * 4232) 256 tane çarpım
Daha sonra, modüler aritmetik işlemi yapacağız:
(310212)¹⁴⁰ . (4232)²⁵⁶ mod 9
Modüler aritmetikte, çarpma işlemi dağılma özelliği taşır. Yani, (a * b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n
Bu özelliği kullanarak, yukarıdaki işlemi sadeleştirebiliriz:
((310212 mod 9) * (4232 mod 9))^140 mod 9
Şimdi, (310212 mod 9) ve (4232 mod 9) değerlerini bulalım:
310212 mod 9 = 1
4232 mod 9 = 4
Bu değerleri yerine koyalım:
(1 * 4)^140 mod 9
(4^140) mod 9 işlemi yapalım:
4^1 mod 9 = 4 (1. adım)
4^2 mod 9 = 7 (2. adım)
4^4 mod 9 = 4 (3. adım)
4^8 mod 9 = 1 (4. adım)
4^16 mod 9 = 7 (5. adım)
4^32 mod 9 = 4 (6. adım)
4^64 mod 9 = 7 (7. adım)
4^128 mod 9 = 4 (8. adım)
Son adıma geldiğimizde, 140’ı 128 ve 8’in toplamı olarak yazabiliriz:
140 = 128 + 8
Bu bilgiyi kullanarak devam edelim:
(4^128 * 4^8) mod 9
4^128 mod 9 = 4 (8. adım)
4^8 mod 9 = 1 (4. adım)
Son olarak, değerleri yerine koyalım:
(4 * 1) mod 9 = 4 mod 9 = 4
Sonuç olarak, verilen ifadenin 9 ile bölümünden kalan 4’tür. Yani, cevap A) 0 doğru değildir.
TERİMLER:
Modüler aritmetik: Bir sayının diğer sayıya bölümünden kalanı hesaplama yöntemi.