Üç basamaklı AB4 doğal sayısının 4 ile bölümünden kalan 2’dir. Bu sayının 9 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, A’nın alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?

Eğitim ve Öğretim Matematik
1

17197599819434860664796975742287
171975998194348606647969757422871920×3409 108 KB

Üç basamaklı AB4 doğal sayısının 4 ile bölümünden kalan 2’dir.
Bu sayının 9 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, A’nın alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?

A) 21
B) 25
C) 29
D) 38
E) 42

Soruyu çöz

2

Soru: Üç basamaklı AB4 doğal sayısının 4 ile bölümünden kalan 2’dir. Bu sayının 9 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, A’nın alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?

Sorunun Anlamı ve Çözüm Yaklaşımı

Verilen AB4 sayısında A ve B, birer rakamı temsil eder ve 4 sayısı sabittir. Bu tür sorularda genellikle bölme işlemine dayanan denklemler kurulur.

4 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının son iki basamağı 4 ile bölündüğünde sayının kendisi de 4 ile bölünür. AB4 sayısının son iki basamağı 4’tür. Bu nedenle B4 sayısına bakarız:
[B4 \equiv 2 (\mod 4)]

B4’ün 4 ile Bölümünden Kalanı 2

B4 ifadesinde, B’nin hangi değerlerde bu koşulu sağladığını bulmamız gerekiyor. B’nin 0’dan 9’a kadar olan değerlerini kontrol edelim:

  • B = 0: 04 % 4 = 0
  • B = 1: 14 % 4 = 2 (uygun)
  • B = 2: 24 % 4 = 0
  • B = 3: 34 % 4 = 2 (uygun)
  • B = 4: 44 % 4 = 0
  • B = 5: 54 % 4 = 2 (uygun)
  • B = 6: 64 % 4 = 0
  • B = 7: 74 % 4 = 2 (uygun)
  • B = 8: 84 % 4 = 0
  • B = 9: 94 % 4 = 2 (uygun)

Uygun B değerleri: 1, 3, 5, 7, 9.

9 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının 9 ile bölünmesi için basamaklarının toplamının 9 ile bölümünün kontrol edilmesi gerekir. Bu durumda:
[A + B + 4 \equiv 4 (\mod 9)]

Denklemi Sadeleştirme

[A + B + 4 \equiv 4 (\mod 9)]
[A + B \equiv 0 (\mod 9)]
Bu durumda A + B, 9’un bir katı olmalıdır.

B Değerlerine Göre A’nın Bulunması

Uygun B değerleri ile A’yı bulalım:

  • B = 1: (A + 1 \equiv 9 \implies A = 8)
  • B = 3: (A + 3 \equiv 9 \implies A = 6)
  • B = 5: (A + 5 \equiv 9 \implies A = 4)
  • B = 7: (A + 7 \implies 9 \implies A = 2)
  • B = 9: (A + 9 \implies 9 \implies A = 0)

A’nın alabileceği değerler: 8, 6, 4, 2, 0.

Farklı Değerlerin Toplamı

Bunların toplamı:
[8 + 6 + 4 + 2 + 0 = 20]

Yanlış Seçenek (Doğru Olmayabilir)

Şıklarda bu toplam gözükmüyor, bir kontrol yapmamız gerekiyor:

  • (A + 9 = 9 \implies A = 0) yerine (A + 9 = 18 \implies A = 9) uygun olabilir, (8+9+6+4+2= 29) uygun

[\text{Cevap: 29}]

Doğru Seçenek

C)

Sonuç: C) 29.

TERİMLER:

mod: Modüler aritmetik işlemi. Bu, bir sayının diğer sayıya bölünmesi sonucu elde edilen kalan anlamına gelir.