G(s)=s^3+3s^2+2s+1 Transfer Fonksiyonunun Faz kesim frekansı(Wc), Kazanç kesim frekansı(Wg),Faz payı (Φm) ve Kazanç payı (Gm) bulunuz.
Verilen transfer fonksiyonu G(s) = s^3 + 3s^2 + 2s + 1 'dir.
Transfer fonksiyonu genliği (kazanç) kesen frekans (Wg), transfer fonksiyonunun faza göre nasıl bir şekle sahip olduğunu, yani faz kesim frekansı (Wc) ve faz payı (Φm) olarak ifade edilen parametreleri bulmak için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:
1. Kazanç Kesim Frekansı (Wg):
Kazanç kesim frekansı, transfer fonksiyonunun genliği belirli bir değerin altında olduğu noktadır. İdeal olarak, kazanç kesim frekansında transfer fonksiyonunun genliği 1 veya kazanç değeri yaklaşık olarak 0 dB’dir. Bu durumu hesaplamak için transfer fonksiyonunu frekans alanına geçirmemiz gerekmektedir. Bunun için s değişkenini jω ile değiştirerek:
G(jω) = j^3ω^3 + 3j^2ω^2 + 2jω + 1
Genlik için G(jω)'yi kullanarak, kazanç kesim frekansını bulabiliriz. Genliğin 0 dB olduğu nokta, genliği en yüksek olan frekans olacaktır. Bu noktayı bulmak için genlik fonksiyonunu alıp, genliği en yüksek olan noktayı bulmak için frekansı değiştiririz. Yani:
|G(jω)| = √(Re(G(jω))^2 + Im(G(jω)^2)
Bu formülü kullanarak, genliğin en yüksek olduğu noktayı bulabiliriz. Frekansı Wg olarak adlandırabiliriz. Ancak verilen transfer fonksiyonunda karmaşık sayılar yerine gerçek sayılar olduğu için genliğin en yüksek olduğu nokta, frekansın en küçük değeri yerine frekansla ilgili fonksiyonun global maksimumu olacaktır. Bu durumda, verilen transfer fonksiyonda genlik hiçbir zaman 0 dB’nin üzerine çıkmadığı için kazanç kesim frekansı Wg bulunamaz.
2. Faz Payı (Φm):
Faz payı, transfer fonksiyonunun belirli bir frekansta fazının ne kadar olduğunu ifade eder. Faz payının genliği, bazı kriterlere göre belirlenir ve terim olarak ifade edilir. Ancak verilen transfer fonksiyonunda karmaşık sayılar yerine gerçek sayılar olduğu için faz payı hesaplanamaz.
3. Faz Kesim Frekansı (Wc):
Faz kesim frekansı, transfer fonksiyonunun fazının -180 derece olduğu noktadır. Bu nokta, genellikle polar plot grafiği kullanılarak veya faz fonksiyonunu inceleyerek belirlenebilir. Ancak verilen transfer fonksiyonunda karmaşık sayılar yerine gerçek sayılar olduğu için faz kesim frekansı Wc bulunamaz.
Sonuç olarak, verilen transfer fonksiyonu için kazanç kesim frekansı (Wg), faz kesim frekansı (Wc), faz payı (Φm) ve kazanç payı (Gm) hesaplanamaz.
TERİMLER:
- Kazanç kesim frekansı (Wg): Transfer fonksiyonunun genliği belirli bir değerin altında olduğu nokta.
- Faz kesim frekansı (Wc): Transfer fonksiyonunun fazının -180 derece olduğu nokta.
- Faz payı (Φm): Transfer fonksiyonunun belirli bir frekansta fazının ne kadar olduğunu ifade eder.
- Kazanç payı (Gm): Transfer fonksiyonunun genliği belirli bir frekansta nasıl değiştiğini ifade eder.
Faz Kesme Frekansı (Wc)
Faz kesim frekansı, transfer fonksiyonunun faz açısının 90 derece değişmeye başladığı frekanstır. G(s) transfer fonksiyonunun faz açısını bulmak için, aşağıdaki denklemi çözebiliriz:
tan(Φ(s)) = -3/s
Bu denklemi çözmek için, tan(Φ(s)) = 90 derece yaparsak, aşağıdaki denklemi elde ederiz:
-3/s = 1
Bu denklemden, s = -3/1 = -3 elde ederiz.
Kazanç Kesme Frekansı (Wg)
Kazanç kesim frekansı, transfer fonksiyonunun kazancının yarıya düştüğü frekanstır. G(s) transfer fonksiyonunun kazancını bulmak için, aşağıdaki denklemi çözebiliriz:
|G(s)| = 1/2
Bu denklemi çözmek için, |G(s)| = 1 yaparsak, aşağıdaki denklemi elde ederiz:
(s^3+3s^2+2s+1)^2 = 1
Bu denklemi çözmek için, aşağıdaki denklemleri elde edebiliriz:
s^6 + 6s^5 + 10s^4 + 12s^3 + 8s^2 + 4s + 1 = 0
(s+1)^3(s^2+2s+1) = 0
Bu denklemlerden, s = -1 veya s = -i-1 elde ederiz.
Faz Payı (Φm)
Faz payı, transfer fonksiyonunun faz açısının 90 derece değiştiği noktadaki faz açısıdır. G(s) transfer fonksiyonunun faz açısının 90 derece değiştiği nokta, s = -3/1 = -3 noktasıdır. Bu noktadaki faz açısı, aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
Φ(-3) = arctan(-3/-3) = arctan(1) = 45 derece
Bu nedenle, faz payı Φm = 45 derecedir.
Kazanç Payı (Gm)
Kazanç payı, transfer fonksiyonunun kazancının yarıya düştüğü noktadaki kazançtır. G(s) transfer fonksiyonunun kazancının yarıya düştüğü nokta, s = -1 noktasıdır. Bu noktadaki kazanç, aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
|G(-1)| = |(-1)^3+3(-1)^2+2(-1)+1| = |1+3-2+1| = |1| = 1
Bu nedenle, kazanç payı Gm = 1’dir.
Sonuç olarak, G(s) transfer fonksiyonunun faz kesim frekansı Wc = -3, kazanç kesim frekansı Wg = -1, faz payı Φm = 45 derece ve kazanç payı Gm = 1’dir.