f(x) \sqrt[3]{3x-13}
olduğuna göre, f’(7) değeri kaçtır?
Bu tip bir türev problemini çözerken, öncelikle türev hesaplama yöntemlerini ve kurallarını anlamak gereklidir. İlk yapılacak işlem, verilen fonksiyonun türevini çözümlemektir.
Öncelicki türev alma işlemine geçmeden önce x’in kuvvetinin ve katsayısıyla ilgili olarak türevin tanımını hatırlamakta fayda vardır. Verdiginiz soruda
f(x) = \sqrt[3]{3x-13}
vardır ki normalde bu
f(x) = (3x-13)^\frac{1}{3}
şeklinde de yazılabilir.
Ardından türev alma kuralları içerisinde yer alan;
- Kural olarak genel bir formül gösterme: eğer
f(x)=x^n
olsaydı, türevi
f'(x)=nx^{n-1}
olur. Ancak bizim fonksiyonumuz x’in gövdesi basit bir x değil, bu yüzden bu kuralı uygulamadan önce uygun bir biçimde düzenlemek gerekir.
2. Kural olarak Zincirleme Kuralı (Chain Rule) vardır.
f(g(x))
gibi bir fonksiyonu türevlendirmeye çalışıyorsak ve g(x), basit bir x değilse, bu durumda türev:
f'(g(x))g'(x)
olacaktır. Bu kural bizim işimizi kolaylaştırır çünkü türevi çıkarılan fonksiyonumuzun içindeki terim basit bir x değil.
Fonksiyonun Düzenlenmesi ve Türevinin Alınması
Düzenleme (1)
Başlangıçtaki fonksiyon
f(x) = \sqrt[3]{3x-13}
ifadesi için bu ifadeyi
f(x) = (3x-13)^\frac{1}{3}
şeklinde düzenleriz.
Türev Alma Kurallarının Uygulanması ve Türevin Hesaplanması (2)
Şimdi düzenlediğimiz fonksiyona ilk türev kuralını uygulayıp türevi bulacağız, ancak içerideki 3x-13 nedeniyle zincirleme kuralını da uygulayacağız. Burada g(x)=3x-13 ve f(g) = g^⅓. Buna göre, ilk türev kuralı ile
f'(x)=\frac{1}{3}(3x-13)^\frac{-2}{3}
'i elde ediyoruz ancak içerideki 3x-13’ün türevini de zincirleme kuralına göre eklememiz gerekiyor.
O halde g(x)'in türevi,
g'(x)=3
'dir ve bunu eklediğimizde, türev
f'(x)=\frac{1}{3}(3x-13)^\frac{-2}{3} * 3
sonucunu verir.
En sonunda,
f'(x)= (3x-13)^\frac{-2}{3}
sonucunu buluruz.
Türevin değerlendirilmesi (3)
Artık kullandığımız türev kurallarıyla elde ettiğimiz bu türev formülünü hali hazırda bilinen x=7 noktasında değerlendirebiliriz.
f'(7) = (3*7-13)^\frac{-2}{3}
ifadesini çözelim: 3*7=21 ve 21-13=8, bu durumda,
f'(7)=8^\frac{-2}{3}
'dir.
Bu hesaplamanın sonucu olarak, türevin x=7’deki değeri 0,25’tir
TERİMLER:
Türev (Derivative): Türev, matematikte bir fonksiyonun belirli bir noktadaki eğiminin ölçüsünü verir.
Zincirleme Kuralı (Chain Rule): Fonksiyonların türevini alırken, bir fonksiyonun bir başka fonksiyonla kompozisyonu şeklinde ifade edilen durumlarda türevi çözerken kullanılan bir kuraldır. Özellikle bir fonksiyonun içinde başka bir fonksiyonun bulunduğu durumlarda bu kural devreye girer.