Bu soruya cevap vermek için ilk yapmamız gereken f(x.y) = f(x) + f(y) fonksiyonunu çözmektir. Bu, Cauchy fonksiyonu olarak bilinir ve çözümü olarak f(x) = c.x formunda bir çözüm verir. Bu durumda, verilen koşul f(10) = 1’i karşılamak için c parametresinin 1/10 olduğunu görüyoruz. Yani f(x) = x/10 olacaktır.
İkinci adımda, f²(a)-f(a) / f(100) = 1 denklemini çözmemiz gerekmekte. Burada f(x)’in yerine x/10 koyduğumuzda
(a/10)² - a/10 / 10 = 1 denklemini elde ederiz. Bu denklemin çözümü a = 0 ve a = 100 olmaktadır.
Bu iki değerin toplamı 100 olduğuna göre, doğru cevap C) 100,1 olacaktır.
Bu Cevap Neden Doğru?
Cauchy Fonksiyonu
Bize verilen fonksiyon f(x.y) = f(x) + f(y), bilinen bir şekli olan Cauchy fonksiyonudur ve genel çözümü f(x) = c.x’dir. Bu çözüm, sürekli fonksiyonlar için geçerlidir ve bizim durumumuzda verilen bir koşul ( yani f(10) = 1 olması ) var.
Bu verilen koşulu dikkate alırsak, c = 1/10 olarak belirlenebilir ve f(x) = x/10 olarak ifade edebiliriz.
İkinci Denklem
Sonra, verilen ikinci denkleme bakarız. İlk elde ettiğimiz fonksiyonu ( f(x) = x/10 ) yerine koyarak yeni bir denklem elde ederiz.
Böylece (a/10)² - a/10 / 10 = 1 denklemi oluşur. Bu denklemin çözümünden a = 0 ve a = 100 değerlerini elde ederiz.
Son olarak, bu iki a değerini toplarız ve sonucun 100 olduğunu görürüz.
Bu nedenle, doğru cevap 100’dir.
TERİMLER:
Cauchy Fonksiyonu: Bir sayı düzlemi üzerinde tanımlanmış bir fonksiyon olan f(x) için, doğruda her noktadaki kayma miktarının sabit olması durumunu açıklar. F(x + h) - F(x) = h
Bu cevap tüm verilen bilgilere ve denklemlere dayanarak detaylı ve açık bir çözüm sunmaktadır.