Cismin kaç metre yüksekten düştüğünü hesaplamanın temelinde serbest düşme hareketi ile ilgili temel formüller kullanılır. Bir cismin belli bir yükseklikten düşme süresini ve yer çekimi ivmesini dikkate alarak yüksekliği hesaplamak için genellikle şu formül kullanılır:
h = (1/2) * g * t^2
Burada:
h = yükseklik (metre)
g = yer çekimi ivmesi (genellikle 9.81 m/s^2 olarak kabul edilir)
t = cismin düşme süresi (saniye)
Yükseklik hesaplanırken dikkat edilmesi gereken noktalar şunlar olabilir:
- Cismin düşüş hareketi serbest düşme olarak kabul edilmişse, hava sürtünmesini ihmal edebilirsiniz.
- Başlangıç hızı ve dikey hız bileşenleri gibi faktörler de göz önünde bulundurulmalıdır.
- Ayrıca hesaplama yapılırken ölçüm birimlerinin uygunluğuna dikkat etmek önemlidir.
Yukarıdaki formül ve dikkat edilmesi gereken noktalar, cismin yüksekliğini hesaplarken temel fizik kurallarını içerir. Bu yöntemler genellikle basit problemler için geçerli olabilir; daha karmaşık problemlerde farklı formüller ve yöntemler kullanılabilir.
Basit Matematik Sorusu:
Bir cismin düşme hızını ve düştüğü süreyi biliyorsak, düştüğü yüksekliği bulabiliriz. Düştüğü yükseklik, 1/2 * g * t^2 formülüyle hesaplanır, burada g yerçekimi ivmesi (9.8 m/s^2) ve t düşme süresidir. Dolayısıyla aşağıdaki gibi adımları takip edebiliriz:
- Cismin düşme süresini bulun.
- Düşme süresini yukarıdaki formülde kullanarak cismin düştüğü yüksekliği hesaplayın.
Örnek soru:
Bir cismin düşme hızı 20 m/s ise bu cismin düştüğü süre nedir? Cismin düştüğü süre boyunca yükseklikte kaç metrekare düşer?
Çözüm:
-
Düşme hızı, hız = yerçekimi ivmesi * zaman formülünden düşme süresini bulmak için kullanılabilir.
→ 20 m/s = 9.8 m/s^2 * t
→ t = 20 m/s / 9.8 m/s^2 = 2.04 s (yaklaşık) -
Düşme süresini (t) yukarıdaki formülde kullanarak düşme yüksekliğini hesaplayın.
→ yükseklik = 1/2 * 9.8 m/s^2 * (2.04 s)^2
→ yükseklik ≈ 20.16 m
Sonuç:
Cismin düşme hızı 20 m/s olduğunda, cismin düştüğü süre yaklaşık olarak 2.04 s ve düştüğü yükseklik yaklaşık 20.16 m’dir.
Karmaşık Matematik Sorusu 1:
Bu soruda, sürtünmenin hesaba katıldığı bir cismin düşme süresini hesaplamalıyız. Sürtünme kitle bağımlı olduğu için, daha detaylı bir şekilde hesaplama yapmamız gerekiyor.
Sorunun kısa bir şekilde ifade edilmiş hali:
Bir cismin sürtüneme katsayısı 0.2, kütlesi 10 kg ve başlangıç hızı 5 m/s ise cisim düşerken sürtünmenin etkisiyle 2 saniye sonra duruyor. Cismin düştüğü yüksekliği bulunuz.
Çözüm:
-
İlk olarak cismin düştükten sonraki hızını bulalım. Sürtünme kuvveti, cismin ağırlık kuvvetini dengeleyeceği için, sürtünme kuvveti = sürtünme katsayısı * ağırlık formülüyle bulunabilir.
→ sürtünme kuvveti = 0.2 * 10 kg * 9.8 m/s^2
→ sürtünme kuvveti = 19.6 N -
İkinci adımda sürtünme kuvvetinin cismin hızını ne kadar süre içinde durdurduğunu hesaplamamız gerekiyor. Bu için Newton’un 2. kanunu olan F = m * a formülünü kullanabiliriz. Sürtünme zamanla arttığından, sürtünme kuvveti = cismin kütlesi * ivme formülüyle sürtünme ivmesini bulabiliriz.
→ sürtünme ivmesi = sürtünme kuvveti / cismin kütlesi
→ sürtünme ivmesi = 19.6 N / 10 kg
→ sürtünme ivmesi = 1.96 m/s^2 -
Sürtünmenin durdurduğu hareketi dikkate alarak cismin düştüğü süreyi hesaplamak için hızı sürtünme ivmesi ile çarparız ve ikiye böleriz.
→ (baslangıç hızı) / (sürtünme ivmesi) = 5 m/s / 1.96 m/s^2 ≈ 2.55 s -
Son olarak, düşme süresini yukarıda bahsedildiği gibi düşme yüksekliğini hesaplarız:
→ yükseklik = 1/2 * g * t^2 = 1/2 * 9.8 m/s^2 * (2.55 s)^2 ≈ 31.73 m
Sonuç:
Cismin sürtünmenin etkisiyle durduğu ve düştüğü yüksekliğin yaklaşık olarak 31.73 m olduğunu bulduk.
Karmaşık Matematik Sorusu 2:
Bu soruda, hava yoğunluğunun etkisini de içeren bir cisme ait düşme süresini hesaplamalıyız. Hava yoğunluğu, cismin hızına direnç uygulayarak düşme hızını yavaşlatabilir.
Sorunun kısa bir şekilde ifade edilmiş hali:
Bir cismin kütlesi 2 kg, başlangıç hızı 10 m/s ve cisim düşerken hava yoğunluğu nedeniyle düştüğü süre 2.5 saniye oluyor. Cismin düştüğü yüksekliği hesaplayınız.
Çözüm:
-
İlk olarak cismin düşme sırasındaki hızını bulalım. Hava direnci, çeşitli faktörlere bağlı olarak düşme hızını azaltır. Bu soruda kısmi bir yaklaşım kullanacağız ve sadece hava yoğunluğunu dikkate alacağız.
Cismin hava direnci tarafından uygulanan kuvvet F = 1/2 * ρ * A * Cd * v^2 formülüyle hesaplanır, burada ρ yoğunluk, A cismin referans alanı, Cd ise cismin direnç katsayısıdır. -
İkinci adımda cismin hızını hava direncinin düşürdüğü hızdan bulmak için, cismin düştüğü süre içinde uygulanan ortalama kuvvetin hızı nasıl değiştirdiğini hesaplamamız gerekiyor. Bu için cismin kütlesi ile ivme arasındaki ilişkiyi kullanabiliriz: F = m * a
Düşme sırasında hız sabit olduğundan, uygulanan kuvvet (hava direnci) ağırlık kuvvetini dengeleyeceği için, F = cismin kütlesi * yerçekimi ivmesi olur. -
Hava direnci formülünü sürtünme kuvveti şekline dönüştürerek, cismin düştüğü süre içindeki ortalama hızını hesaplarız.
→ hava direnci = cismin kütlesi * yerçekimi ivmesi
→ hava direnci = 2 kg * 9.8 m/s^2
→ hava direnci = 19.6 N -
Hızı hesaplamak için, uygulanan kuvvet (hava direnci) = cismin kütlesi * ivme formülünü kullanıyoruz.
→ hava direnci = cismin kütlesi * ivme
→ ivme = hava direnci / cismin kütlesi
→ ivme = 19.6 N / 2 kg
→ ivme = 9.8 m/s^2 -
İyi bir yaklaşım ile cismin düşme süresini bulmak için zaman = hız / ivme formülünü kullanırız.
→ zaman = başlangıç hızı / ivme = 10 m/s / 9.8 m/s^2 ≈ 1.02 s -
En son olarak, düşme süresini ve yüksekliği hesaplayalım.
→ düşme süresi = verilen süre - hesaplanan süre = 2.5 s - 1.02 s ≈ 1.48 s→ yükseklik = 1/2 * g * t^2 = 1/2 * 9.8 m/s^2 * (1.48 s)^2 ≈ 10.26 m
Sonuç:
Cismin düşme sırasında, hava direnci ve hava yoğunluğunun etkisiyle düştüğü süre yaklaşık olarak 1.48 saniye ve düştüğü yükseklik yaklaşık olarak 10.26 m’dir.
TERİMLER:
- Sürtünme katsayısı: Cisimlerin birbirine temas ettiğinde sürtünmeyi tanımlayan bir katsayıdır. Sürtünme katsayısı ne kadar büyükse, sürtünme kuvveti de o kadar büyük olur.
- Referans alanı: Cismin yüzey alanının referans alınan bir değeri veya yapılandırılmış bir şekli. Hava yoğunluğu hesaplamaları genellikle cismin referans alanına dayanır.
- Direnç katsayısı (Cd): Bir cismin şekli ve yüzeyiyle ilişkili olan bir katsayıdır. Cismin yüzey şekli ve pürüzlülüğü kadar önemlidir.