Calcul de la masse de la planète Zébulon à partir des données de son satellite

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La planète Zébulon possède un satellite dont la période de révolution
est de 12 jours. Le rayon moyen de son orbite est 250 000 km.
Quelle est la masse de Zébulon ?
Indice : calculer l’accélération centripète du satellite de deux manières différentes : par Newton et par MCU.

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La masse de Zébulon est d’environ 1{,}3 \times 10^{24}\ \text{kg}.

Résolution détaillée

On utilise l’égalité entre l’accélération obtenue par le mouvement circulaire uniforme et celle donnée par la gravitation de Newton.

1. Données et conversions

  • Période : T = 12\ \text{jours}

    T = 12 \times 24 \times 3600\ \text{s} = 1{,}0368 \times 10^{6}\ \text{s}

  • Rayon orbital moyen : r = 250\ 000\ \text{km} = 2{,}5 \times 10^{8}\ \text{m}

  • Constante gravitationnelle : G \approx 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{SI}

2. Accélération centripète par le MCU

Pour un mouvement circulaire uniforme :

a_c = \dfrac{v^{2}}{r} = \dfrac{4 \pi^{2} r}{T^{2}}

On ne va pas calculer a_c numériquement séparément, car on va tout de suite l’égaliser à l’expression newtonienne.

3. Accélération par la gravitation de Newton

La force gravitationnelle fournit la force centripète :

\dfrac{G M m}{r^{2}} = m \dfrac{v^{2}}{r}

où M est la masse de Zébulon, m la masse du satellite (qui se simplifie), v sa vitesse.

On obtient :

\dfrac{G M}{r^{2}} = \dfrac{v^{2}}{r}

Donc l’accélération centripète selon Newton est :

a_c = \dfrac{G M}{r^{2}}

4. Égalité des deux expressions de a_c

On égalise :

\dfrac{G M}{r^{2}} = \dfrac{4 \pi^{2} r}{T^{2}}

On isole M :

M = \dfrac{4 \pi^{2} r^{3}}{G T^{2}}

5. Calcul numérique

  • r^{3} = (2{,}5 \times 10^{8})^{3} = 2{,}5^{3} \times 10^{24} = 15{,}625 \times 10^{24} = 1{,}5625 \times 10^{25}

  • 4 \pi^{2} \approx 39{,}48

Donc le numérateur :

4 \pi^{2} r^{3} \approx 39{,}48 \times 1{,}5625 \times 10^{25} \approx 6{,}17 \times 10^{26}

Le dénominateur :

T^{2} = (1{,}0368 \times 10^{6})^{2} \approx 1{,}075 \times 10^{12}

G T^{2} \approx 6{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}075 \times 10^{12} \approx 7{,}17 \times 10^{1} = 71{,}7

Donc :

M \approx \dfrac{6{,}17 \times 10^{26}}{7{,}17 \times 10^{1}} \approx 8{,}6 \times 10^{24}\ \text{kg}

En arrondissant selon les données (qui sont très grossières : 12 jours, 250 000 km), on peut aussi donner :

M \approx 10^{25}\ \text{kg}

ou, plus lisiblement,

M \approx (0{,}9 \pm 0{,}3) \times 10^{25}\ \text{kg}

TERMS

  • Accélération centripète : accélération dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire.
  • Mouvement circulaire uniforme (MCU) : mouvement sur un cercle à vitesse scalaire constante.
  • Gravitation de Newton : loi qui relie la force gravitationnelle aux masses et à la distance qui les sépare.

Source / Contrôle