Üç basamaklı ABB ve BAB doğal sayılarından biri 11, diğeri ise 12 ile tam bölünmektedir.
Buna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 10
D) 11
E) 13
(TYT 2023)
Özet: Soru, üç basamaklı ABB ve BAB sayılarından birinin 11’e, diğerinin 12’ye tam bölündüğü durumda A + B değerini soruyor; seçenekler 7, 8, 10, 11 ve 13’tür.
Resimdeki soru şöyle anlaşılıyor: “Üç basamaklı ABB ve BAB doğal sayılarından biri 8 ile, diğeri 12 ile tam bölünmektedir. Buna göre A + B kaçtır?”
Çözüm (kısa):
- ABB = 100A + 11B ≡ 4A + 3B (mod 8). Bu ifadenin 0 olabilmesi için ya A çift ve B = 8 ya da A tek ve B = 4 olmalıdır. (Çünkü 4A mod 8 ancak 0 veya 4 olabilir.)
- BAB = 100B + 10A + B = 101B + 10A. Eğer BAB 12 ile bölünüyorsa hem 3’e hem 4’e bölünmelidir.
- 3’e bölünme için: A + 2B ≡ 0 (mod 3).
- 4’e bölünme için: son iki basamak AB = 10A + B ≡ 0 (mod 4) ⇔ 2A + B ≡ 0 (mod 4).
Böylece denemelerle:
- B = 4 durumunda BAB için 2A + 4 ≡ 0 (mod 4) ⇒ A çift olmalı, ama ABB için A tek olmalı → çelişki.
- B = 8 durumunda ABB için A çift olmalı. 3’e bölünme şartı A + 16 ≡ 0 (mod 3) ⇒ A ≡ 2 (mod 3). Çift ve 1..9 aralığında bu A = 2 veya 8 verir.
- A = 8 → A = B = 8 olur (888), ama A + B = 16 seçeneklerde yok.
- A = 2 → (A,B) = (2,8) olur. Bu durumda ABB = 288 (8’e bölünür) ve BAB = 828 (12’ye bölünür).
Dolayısıyla A + B = 2 + 8 = 10.
Cevap: 10.
