Aşağıdaki RC seri devresinde, R: 2,2 k ohm direnç ve C: 0,02 mikro F kapasitör üzerinden geçen akım ve gerilimleri bulunuz.
Gerilim: 10Sin2TT1500t
Devre Analizi
RC seri devresinde akım (I), kapasitör üzerindeki gerilim (V_C), ve direnç üzerindeki gerilim (V_R) hesaplanabilir. Sinüzoidal besleme gerilimi verildiğinden, hesaplamaları yapabilmek için alternatif akım (AC) devre teorisi kullanılır.
Verilen Değerler
- R: Direncin değişmez değeri (2,2 kΩ = 2200 Ω)
- C: Kapasitörün değişmez değeri (0,02 µF = 20 x 10^-9 F)
- Frekans (f): 1500 Hz (sinüzoidal kaynak gerilimi)
- Gerilim (V_s): 10Sin(2πft) = 10Sin(2π1500t)
Akım (I)
RC seri devrelerde, akım V_s/R ve 1/(2πfC) ve Ω(senaryo için direnç ve kapasitans) değerlerine bağlıdır. Akım (I) bulunurken aşağıdaki formül kullanılır:
I = V_s / Z
Burada Z devrenin empedansıdır, RC seri devresi için empedans (Z) aşağıdaki şekilde bulunur:
Z = √(R^2 + (1/(2πfC))^2)
Empedansın (Z) Hesaplanması
Z = √(2200^2 + (1/(2π*1500*20 x 10^-9))^2)
= √(2200^2 + (1/(2π*1500*20 x 10^-9))^2)
= √(4840000 + (1/(2π*1500*20 x 10^-9))^2)
Bu ifadeyi çözmek için hesaplama yapalım:
Z = √(4840000 + (1/(2*π*1500*20 x 10^-9))^2)
Empedansın gerçek değerini hesaplamak için bu ifade sonuca ulaşmak üzere kullanılır, fakat bunu hesaplamadan önce akımın genel formunu bulalım.
Akımın (I) Genel Formunun Bulunması
Akımın genel formu, kaynak gerilimin fazör formunda ifade edildiği bir sinüs fonksiyonudur. Bir sinüzoidal işlev, genellikle genlik, frekans ve faz açısı cinsinden ifade edilir. Sinüzoidal işlevin genliği akımın genliğidir ve faz açısı direnç ve kapasitans nedeniyle gerilimin fazından farklı olacaktır.
Akımın Genliği (|I|)
Genlik (|I|) şu şekilde bulunur:
|I| = V_s / Z
Akımın Faz Açısı (φ)
Akım ve gerilim arasındaki faz farkı (φ), kapasitansın reaktansı ve direncin etkisi ile ilgilidir. Faz açısı aşağıdaki formülle hesaplanır:
φ = atan(-1/(2πfCR))
Şimdi bütün değerleri yerine koyarak genlik (|I|) ve faz açısı (φ) hesaplayabiliriz.
Genlik ve Faz Açısı ile Akımın Hesaplanması
Akımın genliği ve faz açısı bilindiğinde, akım şu formülle ifade edilebilir:
I(t) = |I| Sin(2πft + φ)
Bu ifade, akımın zamana bağlı değişimini gösterir ve direnç ve kapasitans değerleri ile kaynak geriliminin frekansına bağlıdır.
Kapasitör Üzerindeki Gerilim (V_C) ve Direnç Üzerindeki Gerilim (V_R)
Kapasitör üzerindeki gerilim, yukarıda bulduğumuz akım ve kapasitif reaktans (X_C) kullanılarak şöyle bulunabilir:
V_C = |I| / X_C
Direnç üzerindeki gerilim ise Ohm Kanunu kullanılarak bulunabilir:
V_R = |I| * R
Sonuç
Bu hesaplamalara dayanarak akımın genliği ve faz açısını bulduk. Akımın genliğini ve faz açısını kullanarak zamanla değişen toplam akımı ve kapasitör ve direnç üzerindeki gerilimleri hesaplayabiliriz.
TERİMLER:
Reaktans: Alternatif akımda, kapasitans ve endüktansın etkisiyle oluşan dirence denir.
Empedans: Alternatif akımda, devrenin toplam direnci.
Faz Açısı: Akım ile gerilim arasındaki faz farkı.
RC Seri Devresinde Akım ve Gerilim Hesaplama
RC devresinde, bir direnç (R) ile bir kapasitör (C) seri bağlandığında, üzerinden geçen akım (i(t)) ve kapasitör üzerindeki gerilim (vC(t)), verilen dış gerilim (v(t)) tarafından belirlenir.
Verilen Değerler
- Direnç (R): 2,2 kΩ (2200 Ω)
- Kapasitör (C): 0,02 µF (20 x 10^-9 F)
- Dış Gerilim (v(t)): 10Sin(2π1500t)
Akım Hesaplama (i(t))
Akımı hesaplamadan önce, sırasıyla dış gerilimin açısal frekansını (ω) ve devrenin zaman sabitini (τ) bulmamız gerekiyor.
Açısal Frekans (ω)
Belirtilen formülde 2π1500 ifadesi açısal frekansı temsil eder, yani:
ω = 2πf
Burada f, frekanstır ve verilen ifadeye göre 1500 Hz’dir. Bu nedenle:
ω = 2 * π * 1500
ω = 3000π rad/s
Zaman Sabiti (τ)
RC devresinin zaman sabiti τ, R ve C değerlerinin çarpımıyla bulunur:
τ = R * C
τ = 2200Ω * 20x10^-9 F
τ = 44x10^-6 s (ya da 44 µs)
Akımın Bulunması
Dış gerilim sinusoidal olduğu için, akım da zamanla değişen bir sinüs dalgası olacaktır. RC devrelerde, akım maksimum değere ulaştığında kapasitör üzerinde gerilim sıfırdır ve kapasitör tam yüklendiğinde akım sıfırdır. Fakat bizim durumumuzda akımın tam ifadesini bulmak için kapasitör üzerindeki gerilimin türevine ihtiyacımız var çünkü akım, kapasitör üzerindeki gerilim değişim hızıyla orantılıdır.
i(t) = C * dvC(t)/dt
Kapasitör üzerindeki Gerilim Hesaplama (vC(t))
Kapasitör üzerindeki gerilim (vC(t)), dış gerilimin integrali alınarak bulunabilir. Ancak, bu analitik bir çözüm gerektirir ve genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak hesaplanır. Alternatif olarak, devreyi zamana karşı çözümlemek ve kapasitör gerilimini zamana göre simüle etmek mümkündür. Bu matematiksel olarak karmaşık bir işlem olduğu için, burada basit bir cevap yerine devreyi simüle etmeyi ve numerik yöntemlerin kullanılmasını öneririm.
TERİMLER:
Açısal frekans (ω): Bir sinüsoidal fonksiyonun birim zamandaki döngü (ya da periyot) sayısının 2π ile çarpımıdır ve radian/saniye (rad/s) cinsinden ifade edilir.
Zaman sabiti (τ): RC ya da LR gibi birinci dereceden geçici devrelerde, devrenin bir sabit gerilim ya da akımdan etkilenmeye başladığı andan itibaren parametrelerindeki değişimin başlangıç değerinin yaklaşık %63.2’sine ulaşması için geçen zamandır.
Not: RC devresindeki tam gerilim ve akım denklemlerinin çözümü, analitik bir yöntem veya sayısal bir simülasyon gerektirir ve burada doğrudan bir formülle ifade edilmesi mümkün değildir. Özellikle bir sinüs dalgası ile uyarıldığında, kapasitör üzerindeki gerilimin zamana bağlı davranışı için diferansiyel denklem çözümleri veya Fourier analizi gibi yöntemler kullanılmalıdır. Bu analizi yapmak için ileri düzey mühendislik veya fizik bilgisi gerekebilir.