Çekilen dişlerin kanama süresine göre dağılımı aşağıdaki gibi bir normal dağılımdır.
| Kanama Süresi | Hasta Sayısı |
|---|---|
| 5 ≤ x < 15 | 10 |
| 15 ≤ x < 25 | 20 |
| 25 ≤ x < 35 | 40 |
| 35 ≤ x < 45 | 20 |
| 45 ≤ x < 55 | 10 |
Bu dağılım için Mod, Medyan, Aritmetik ortalama ve Varyansı hesaplayınız.
Bu görüntü, çekilen dişlerin kanama süresine göre hasta sayısının dağılımını gösteren bir tabloda normal dağılımı anlatmaktadır. Metinde, bu dağılım için Mod, Medyan, Aritmetik ortalama ve Varyans hesaplanması istenmektedir.
Mod: 25 ile 35 arasında bir değer (moda yakın bir değer).
Toplam Hasta Sayısı: Tüm hasta sayısını toplayarak başlarız.
Toplam Hasta Sayısı = 10 + 20 + 40 + 20 + 10 = 100
Medyanın Konumu: Toplam hasta sayısının ortasındaki hasta medyanı belirler. Bu durumda:
Medyanın Yerini Hesapla = 100 / 2 = 50 ve 51. hasta
Medyanın Bulunması: Medyanın yerini belirlemek için hasta sayılarını toplarız:
İlk 10 hasta 5 ≤ x < 15 aralığında.
Sonraki 20 hasta 15 ≤ x < 25 aralığında → (10 + 20 = 30) (51. hasta henüz ulaşılmadı).
Bir sonraki 40 hasta 25 ≤ x < 35 aralığında → Bu aralıkta 50. ve 51. hastalar bulunur.
Dolayısıyla, Medyan 25 ≤ x < 35 aralığındadır.
Bu aralığın ortası, \left( \frac{25 + 35}{2} \right) = 30
Medyan: 30
(5-15 arası): Orta Nokta = 10, Hasta Sayısı = 10 → 10 * 10 = 100
(15-25 arası): Orta Nokta = 20, Hasta Sayısı = 20 → 20 * 20 = 400
(25-35 arası): Orta Nokta = 30, Hasta Sayısı = 40 → 30 * 40 = 1200
(35-45 arası): Orta Nokta = 40, Hasta Sayısı = 20 → 40 * 20 = 800
(45-55 arası): Orta Nokta = 50, Hasta Sayısı = 10 → 50 * 10 = 500
Toplam Değer = 100 + 400 + 1200 + 800 + 500 = 3000
Ortalama = Toplam Değer / Toplam Hasta Sayısı = 3000 / 100 = 30
Aritmetik Ortalama: 30
(Orta Noktalar)^2 ve Çarpım:
(10^2 * 10) = 1000
(20^2 * 20) = 8000
(30^2 * 40) = 36000
(40^2 * 20) = 32000
(50^2 * 10) = 25000
Toplam Sapma Değeri = 1000 + 8000 + 36000 + 32000 + 25000 = 102000
Ortalama Sapma Değeri = Toplam Sapma Değeri / Toplam Hasta Sayısı = 102000 / 100 = 1020
Varyans = Ortalama Sapma Değeri - (Ortalama)^2 = 1020 - (30^2) = 1020 - 900 = 120
Varyans: 120
Normal Dağılım: Verilerin büyük çoğunluğunun ortalama etrafında toplandığı, simetrik bir dağılım.
Mod: Bir veri setinde en sık görülen değer.
Medyan: Sıralanmış bir veri setinde ortadaki değer.
Aritmetik Ortalama (Ortalama): Bir veri setinde tüm değerlerin toplamının, bu değerlerin sayısına bölünmesiyle elde edilen değer.
Varyans: Verilerin ortalamadan ne kadar sapma gösterdiğinin bir ölçüsü.
Verilen tabloya göre, çekilen dişlerin kanama sürelerine ilişkin hasta sayıları ve kanama süresi aralıkları gösterilmektedir. Bu verileri kullanarak Mod, Medyan, Aritmetik Ortalama ve Varyans’ı hesaplayabiliriz.
1. Mod:
Mod, bir veri kümesinde en sık tekrar eden değerdir. Bu tabloda, 25 ≤ x < 35 kanama süresi aralığı en fazla hastaya (40 kişi) aittir. Dolayısıyla, Mod = 30 dakikadır.
2. Medyan:
Medyan, veri kümesini ikiye bölen değeri ifade eder. Öncelikle verileri kanama süresine göre sıralayalım:
| Kanama Süresi | Hasta Sayısı (Kümülatif) |
|---|---|
| 5 ≤ x < 15 | 10 |
| 15 ≤ x < 25 | 30 |
| 25 ≤ x < 35 | 70 |
| 35 ≤ x < 45 | 90 |
| 45 ≤ x < 55 | 100 |
Veri kümesi 100 gözlemden oluştuğuna göre, medyan 50. ve 51. gözlemlerin ortalaması olacaktır. 50. gözlem 25 ≤ x < 35 aralığında, 51. gözlem ise aynı aralıktadır. Dolayısıyla, Medyan = 30 dakikadır.
3. Aritmetik Ortalama:
Aritmetik ortalama, veri kümesindeki tüm değerlerin toplamının veri kümesinin eleman sayısına bölünmesiyle elde edilir. Her kanama süresi aralığı için ortalama kanama süresini hesaplayıp, hasta sayıları ile çarpıp, toplamı alarak, toplam hasta sayısına bölebiliriz:
Ortalama = Toplam / Hasta Sayısı = 2775 / 100 = 27.75 dakika
4. Varyans:
Varyans, veri kümesindeki her bir değerin ortalamadan ne kadar uzaklıkta olduğunu gösteren bir istatistiksel ölçüdür. Öncelikle her bir kanama süresi aralığı için ortalamadan olan farkın karesini, hasta sayıları ile çarpıp hesaplayalım:
Varyans = Toplam / Hasta Sayısı = 846 / 100 = 8.46 dakika^2
Sonuçlar: