Bir gökdelenin boyunu ölçmemiz isteniyor. Bunun için gökdelenin 100 m uzağında, kotu 750 m olan bir nokta tespit edip aleti bu noktaya kurduğumuzda aşağıdaki ölçüm değerlerini elde ediyoruz.
Ha = 750 m
A=1,52m
u = 100,00 m
Z_1=25,5210^g
Z_2 = 125,7514^g
a) Bu gökdelenin yüksekliğini,
b) Zemindeki alt noktasının kotunu,
c) En üst noktasının kotunu hesaplayınız.
Gökdelenin yüksekliği, alt ve üst noktalarının kotlarının hesaplanması için trigonometri ve bazı ölçüm prensipleri kullanılacaktır. Öncelikle verilen değerleri ve sorulanları adım adım inceleyelim.
Gökdelenin yüksekliğini (H) hesaplamak için, alt ve üst noktalar arasındaki dikey farkı bulmamız gerekmektedir. Bunu yaparken, her iki zenit açısından yola çıkarak ilgili dikey mesafeleri hesaplayıp farklarını alacağız.
D_b = u \cdot \tan(Z_1)
Burada Z_1'in radyan cinsine çevrilmesi gerekebilir.
D_t = u \cdot \tan(180^g - Z_2)
Z_2 için, zenit açısı 180 dereceden büyük olduğu için, 180 dereceden çıkarım yapılır ve radyan cinsine dönüştürülür.
H = D_t - D_b + A
Alt noktanın kotunu hesaplamak için, aletin yüksekliğinden alt noktaya olan dikey mesafeyi çıkarmamız gerekmektedir.
K_b = Ha - D_b
Benzer şekilde, üst noktanın kotunu hesaplamak için, aletin yüksekliğine üst noktaya olan dikey mesafeyi eklememiz gerekmektedir.
K_t = Ha + D_t
Bu örnekte, doğrudan hesaplamaların nasıl yapıldığını göstermek yerine yöntemi açıklamayı tercih ettim çünkü zenit açılarının derece cinsinden verilmiş olmaları, onları matematiksel işlemlere dahil etmeden önce radyan cinsine çevirim gerektirir. Genel bir çözüm için, bu adımlar takip edilir, ancak her bir değerin hesaplanabilmesi için gereken trigonometrik işlevlerin ve dönüşümlerin uygulanması gerekir.
Zenit Açısı: Zenit noktasından (gözlem noktasının tam üst noktası) bir noktaya çizilen doğru ile yer çekimi yönündeki doğrunun oluşturduğu açı.
Kot: Bir noktanın deniz seviyesinden yüksekliği.
Tan (Tanjant): Bir açının tanjantı, o açının karşısındaki kenarın bitişiğindeki kenara oranıdır.
Öncelikle, verilen bilgileri kullanarak gökdelenin yüksekliğini (H), zemindeki alt noktasının kotunu (H_b) ve en üst noktasının kotunu (H_t) hesaplayacağız.
Verilenler:
Burada zenit açılarını dereceye dönüştürmek gerekmektedir. Bunun için 1^g = 1^{\circ}1'48'' kullanılabilir, ancak bu işlem için doğrudan radyan cinsinden hesaplama yapacağız. Gökdelenin yüksekliğini hesaplarken, trigonometrik yöntemleri kullanacağız.
Zenit Açılarının Dereceye Dönüşümü:
Z_1 = 25.5210 \times 1.02 = 26.0314^\circ
Z_2 = 125.7514 \times 1.02 = 128.3664^\circ
Şimdi düzeltme adımlarını yapalım:
Z_1 = 90^\circ - 26.0314^\circ = 63.9686^\circ
Z_2 = 180^\circ - 128.3664^\circ = 51.6336^\circ
Taban Kot ve Tepesi Kot Hesabı:
İrtifa yüksekliği ve yatay mesafe ile birlikte trigonometrik formülleri kullanarak,
H_b = Ha + A - u \cdot \tan(Z_1)
H_t = Ha + A + u \cdot \tan(Z_2)
Yükseklik Hesabı:
H = H_t - H_b
Öncelikle \tan(Z_1) ve \tan(Z_2) değerlerini hesaplayalım.
\tan(63.9686^\circ) \approx 2.0178
\tan(51.6336^\circ) \approx 1.2612
Kotları hesaplayalım:
H_b = 750 + 1.52 - 100 \cdot 2.0178 = 750 + 1.52 - 201.78 \approx 549.74 \, m
H_t = 750 + 1.52 + 100 \cdot 1.2612 = 750 + 1.52 + 126.12 \approx 877.64 \, m
Ve gökdelenin yüksekliği:
H = 877.64 - 549.74 \approx 327.90 \, m
Sonuçlar:
a) Gökdelenin yüksekliği yaklaşık 327.90 m’dir.
b) Zemindeki alt noktasının kotu yaklaşık 549.74 m’dir.
c) En üst noktasının kotu yaklaşık 877.64 m’dir.
