3 kapı var, kapıların ikisinin arkasında keçi var, birinin arkasında araba var. 10 yarışmacımız var, bu 10 yarışmacının hepsinin doğru kapıdan geçmesini sağlamak için matematiksel nasıl bir çözüme ulaşabiliriz?
Monty Hall Problemi ve Optimal Strateji
Bu senaryo, ünlü Monty Hall problemine dayanmaktadır. Bu problemin çözümünü anlamak, yarışmacıların araba olan kapıyı nasıl seçebileceklerini belirlemek için kritik öneme sahiptir. Öncelikle problemi ve ardından bu durumu 10 yarışmacıya genişletmek için kullanabileceğimiz stratejiyi açıklayalım.
Monty Hall Problemi Nedir?
Monty Hall problemi, katılımcıya üç kapı sunulan ve bu kapılardan birinin arkasında büyük bir ödülün (araba) ve diğer ikisinin arkasında ise değersiz bir ödülün (keçi) olduğu bir olasılık bulmacasıdır. Yarışmacı bir kapı seçtikten sonra, ev sahibi (Monty Hall), yarışmacının seçmediği kapılardan birini açar ve orada keçi olduğunu gösterir. Ardından yarışmacıya ilk seçimini değiştirme şansı verilir.
İlk Problem Çözümü: Tek Yarışmacı İçin
Bir yarışmacının kazanma şansını maksimize etmek için en iyi strateji, kapıyı değiştirmektir. Yarışmacı ilk kapıyı seçtiğinde, araba olma şansı \frac{1}{3} , keçi olma şansı \frac{2}{3} ’tür. Monty, yarışmacının seçmediği kapılardan birinde keçi olduğunu açtığında, eğer ilk seçilen kapıda keçi varsa ( ki bu olasılık \frac{2}{3} ), diğer kapıda kesinlikle araba olacaktır. Bu nedenle kapı değiştirildiğinde kazanma şansı \frac{2}{3} ’e yükselir.
Çözüm Genişlemesi: 10 Yarışmacı İçin
10 yarışmacının hepsinin doğru kapıdan geçmesini sağlamak için uygulanabilecek matematiksel bir yöntem, her bir yarışmacının kapı değiştirme stratejisini izlemesi olacaktır. Ancak, yarışmacılardan her biri bağımsız bir şekilde doğru kapıyı tahmin etmeli ve Monty kapıyı açtıktan sonra değiştirmelidir.
Her Yarışmacı İçin Adımlar
- Yarışmacı rastgele bir kapı seçer.
- Monty, seçilmeyen kapılardan birinde keçi olduğunu gösterir.
- Yarışmacı kapısını diğer kapı ile değiştirir.
Toplu Olarak Kazanma Olasılığı
Teorik olarak, her bir yarışmacı kapıyı değiştirdiği zaman kazanma olasılığı \frac{2}{3} 'tür. Ancak, 10 yarışmacının da doğru kapıyı seçmesi gerektiğinde, toplam başarı olasılığı bu ihtimallerin çarpımı olacaktır:
P(\text{hepsi doğru}) = \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \approx 0.0173
Bu hesap, her ne kadar her yarışmacı için en optimal seçimi yapmış olsak bile, tüm yarışmacıların doğru kapıyı bulması ihtimalinin oldukça düşük olduğunu göstermektedir.
Sonuç
Yarışmacılar kapıyı değiştirerek bireysel kazanma şanslarını maksimize edebilirler, fakat bu yöntem tüm yarışmacıların doğru kapıyı seçmelerini garanti altına almaz. Bu durum rastlantısal bir süreçtir ve yarışmanın doğası gereği kazanma olasılıkları her zaman belirsizlik içerir.
TERİMLER:
Monty Hall problemi: Üç kapılı ve ardında farklı içerikler bulunan bir TV show oyununun olasılık teoremine dayanan problem. Katılımcı bir kapı seçer, ardından ev sahibi açık bir şekilde değersiz bir ödül gösterir ve katılımcıya seçimini değiştirme şansı verir.