Matematikte faktöriyel işlemi genellikle pozitif tam sayılar için tanımlıdır. Ancak 0 sayısının faktöriyelinin kaç olduğu ve bu değerin neden sıfır yerine bir olarak kabul edildiği konusunda kafam karıştı. 0 faktöriyel neden 1 olarak tanımlanır ve bu tanımın altında yatan matematiksel gerekçeler nelerdir? Ayrıca bu tanım kombinatorik ve diğer matematiksel alanlarda nasıl bir rol oynar?
Kısa yanıt: 0! = 1 olarak kabul edilir çünkü bu tanım hem rekürsif faktöriyel tanımıyla, hem kombinatorik yorumlarla (boş düzenlemelerin/ seçimlerin sayısı) hem de analitik uzantılar (Gamma fonksiyonu) ile tutarlıdır. Aşağıda adım adım gerekçeler ve örnekler var.
Hazırlanma tarihi: 3 Ekim 2025 (Europe/Brussels)
Nedenleri (adım adım)
- Rekürsif tanım: Faktöriyel genelde n! = n\cdot (n-1)! şeklinde tanımlanır. n=1 için 1! = 1\cdot 0! ve bildiğimiz 1! = 1 olduğuna göre 0!'in 1 olması gerekir: 1 = 1\cdot 0! \Rightarrow 0! = 1.
- Boş çarpım (algebraik neden): Matematikte “boş çarpım” (yani içinde çarpılacak eleman olmayan bir çarpım) birim eleman olarak 1 kabul edilir. Faktöriyel bir çarpım olduğundan (n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n), n=0 için çarpım boş olur ve değeri 1'dir.
- Kombinatorik yorum: n! n farklı nesnenin tüm farklı sıralamalarının sayısıdır. 0 nesneyi sıralamanın tek yolu “hiçbir şey yapmak” — boş permütasyon — yani 1 düzenleme vardır. Benzer şekilde \binom{n}{0}=1 olduğu için 0!'ün 1 olması gerekir çünkü \binom{n}{0}=\dfrac{n!}{0!\,n!}.
- Analitik uzantı (Gamma fonksiyonu): Gamma fonksiyonu ile \Gamma(n)=(n-1)! olur. \Gamma(1)=1 olduğu için (1-1)! = 0! = 1 sonucunu verir; böylece tamsayı dışındaki uzantılarla da uyumluluk sağlanır.
Örnekler ve uygulamalar
- Binom katsayısı: \binom{5}{0}=\dfrac{5!}{0!\,5!}=1; bu mantıklı çünkü 5 elemanlı bir kümeden 0 eleman seçmenin tek yolu vardır.
- Taylor serisi: e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}. Burada n=0 terimi \dfrac{x^0}{0!}=\dfrac{1}{1}=1 olmalı; aksi halde sabit terim kaybolur.
- Rekürsif hesaplamalar: Pek çok formül n! üzerinden indirgeme yapar; 0! = 1 olmasaydı sınır durumlarıyla uğraşmak gerekir ve pek çok kimlik bozulurdu.
Sonuç: 0! = 1 bir tercihten çok matematiğin çeşitli tanımları ve uygulamalarıyla uyumlu olan zorunlu bir değerdir. Bu atama hem cebirsel tutarlılık, hem kombinatorik anlam, hem de analitik uzantıyla (Gamma fonksiyonu) uyumludur.
Kaynak (kontrol edildi):
- “Factorial”, Wolfram MathWorld — kontrol tarihi: 3 Ekim 2025 (Europe/Brussels). (ayrıntılar ve kanıtlar için standart matematik kaynakları ve ders kitapları da aynı sonucu verir.)
Terimler ve Açıklamalar
- Binom katsayısı
Binom katsayısı \binom{n}{k}, n elemandan k tanesini seçmenin sayısını verir. Örnek: \binom{n}{0}=1 çünkü 0 eleman seçmenin tek yolu vardır; formülle \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} gösterilir. - Boş çarpım
Eleman içermeyen bir çarpımın değeri 1 olarak tanımlanır; bu, çarpmanın birim elemanıdır ve faktöriyel bağlamında 0!'ün 1 olmasını açıklar. Örnek: 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n ifadesinin n=0 için değeri boş çarpımdır. - Faktöriyel
Pozitif tam sayı n için n! genellikle 1\cdot 2\cdot \dots \cdot n veya rekürsif olarak n! = n\cdot (n-1)! ile tanımlanır. Kombinatorikte permütasyon sayısı ve analizde serilerde sık kullanılır. - Gamma fonksiyonu
Gamma fonksiyonu \Gamma(z) faktöriyelin karmaşık düzlemde bir uzantısıdır; pozitif tamsayılar için \Gamma(n)=(n-1)! olur. Bu uzantı, 0!'ün değerini \Gamma(1)=1 ile tutarlı kılar. - Kombinasyon
Kombinasyon, sıra öneminin olmadığı seçimleri ifade eder; sayısı \binom{n}{k} ile verilir. Kombinasyon formüllarında 0!'ün 1 olması doğal sınır durumlarını sağlar. - Permütasyon
Belirli bir kümenin elemanlarının farklı sıralamalarına permütasyon denir; n elemanın permütasyon sayısı n!'dir. n=0 için bir boş permütasyon vardır, yani 0!=1. - Rekürsif tanım
Bir fonksiyonun değeri daha küçük girişlerin değerlerine göre tanımlanmasıdır; faktöriyelde n! = n\cdot (n-1)! bir rekürsif tanımdır. Rekürsif tanımın başlangıç durumu (0! veya 1!) seçilmezse tüm tanım bozulur; 0! = 1 başlangıç koşulu tutarlılığı sağlar.
İstersen bu gerekçelerden herhangi biri üzerine daha ayrıntılı kanıt ya da örnek (ör. Gamma fonksiyonu tanımı, boş çarpımın cebirsel temeli veya kombinatorik kanıtlar) veririm.