Polinum halkaları: R bir halka ise R[X] de bir halkadır. Gösteriniz!

Eğitim ve Öğretim Matematik
1

R bir halka ise R[X] de bir halkadır. Gösteriniz…

2

Polinom Halkalarının Halka Olması

Polinom halkaları, belirli matematiksel yapıların genişlemiş formudur. Bir halka R verildiğinde, bu halkanın üzerinde polinomlar kümesi de bir halka oluşturur. Bu konsept, soyut cebirin temel taşlarından biridir ve matematiksel disiplinler arasında geniş uygulama sahalarına sahiptir. Bu durumu somut bir şekilde göstermek için, polinom halkalarının halka axiyomlarını sağladığını adım adım göstermek gerekir.

Halka Axiomlarının Tanımı

Bir kümenin halka olabilmesi için aşağıdaki üç temel axioma ihtiyaç vardır:

  1. Toplama Kapalılığı ve İşlemi: Eğer f(x), g(x) \in R[x] ise, f(x) + g(x) de R[x]'te (polinomların kümesi) yer almalıdır.
  2. Çarpma Kapalılığı ve İşlemi: Eğer f(x), g(x) \in R[x] ise, f(x) \cdot g(x) de R[x]'te yer almalıdır.
  3. Toplama ve Çarpma ile İlgili Diğer Axiomlar: Toplamanın ve çarpmanın associativity (özdeşleştirme), commutativity (değişme), distributivity (dağılma) özelliklerini sağlaması ve toplamada nötr eleman ile çarpma için birim elemanın bulunması gerekir.

Toplama ve Çarpma Kapalılığı

Toplama

Eğer f(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0 ve g(x) = b_nx^n + \dots + b_1x + b_0 ise, bu polinomların toplamı olan h(x) = (a_n + b_n)x^n + \dots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0) formunda da bir polinom olacaktır. Burada gördüğümüz gibi, katsayılar a_i + b_i R halkasının elemanları olduğundan, toplama işlemi kapalıdır.

Çarpma

Polinomların çarpımı için, f(x) \cdot g(x) ifadesini düşünelim. Çarpım sonucunda elde edilen terimlerin her bir katsayısı, R'deki elemanların çarpımı olarak ifade edilebilir, yani bu terimler de R'de kalır. Dolayısıyla çarpma işlemi de kapalıdır.

Diğer Axiomların Sağlanışı

  • Associativity: Toplama ve çarpma işlemleri polinomlar için associatif özellik gösterir.
  • Commutativity: Toplama işlemi commutativ özelliktedir, yani f(x) + g(x) = g(x) + f(x). Çarpma işlemi genel olarak commutativ değildir.
  • Distributivity: f(x) \cdot (g(x) + h(x)) = f(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot h(x), distributive özellik sağlanır.
  • Nötr ve Birim Elemanlar:
    • Toplama için Nötr Eleman: Sıfır polinomu (0), toplama işlemi için nötr elemandır.
    • Çarpma için Birim Eleman: Sabit 1 polinomu (1), çarpma işlemi için birim elemandır.

SONUÇ:

Bu adımları izleyerek R[x], yani R üzerine kurulu polinomlar kümesinin bir halka olduğunu göstermiş olduk. Tüm halka axiyomları sağlandığı için, R bir halka ise, R[x] de daima bir halkadır.

TERİMLER:

Halka (Ring): Matematikte, toplama, çarpma gibi iki işleme sahip ve bu işlemler altında kapalı olan, bazı axiyomları sağlayan yapıdır.
Polinom: Genellikle p(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0 şeklinde ifade edilen, değişkenler ve katsayılar içeren matematiksel bir ifadedir.
Axiom: Matematikte kabul edilen, ispat gerektirmeyen temel önermelerdir.
Associativity (Associatiflik): İşlemlerin gruplandırılmasının sonucu değiştirmediği özellik.
Commutativity (Commutatiflik): İşlemlerin sırasının sonucu değiştirmediği özellik.
Distributivity (Dağılma): Bir işlemin, diğer üzerinde dağılma özelliğini göstermesi.

3

Halka Tanımı ve Polinom Halkası

Bir matematiksel yapı olan halka, bir küme ve bu küme üzerinde tanımlı iki işlem olan toplama (+) ve çarpma (*) ile karakterize edilir. Bu halkanın komütatif olup olmadığı, birim eleman içerip içermediği gibi özellikler, halkanın türünü belirler.

Halkanın Aksiyomları

Bir küme R, üzerinde tanımlı + (toplama) ve * (çarpma) işlemleri ile birlikte bir halka oluşturduğunda, aşağıdaki aksiyomları sağlamalıdır:

  1. Toplama işlemi için kapalılık: Her a, b \in R için, a + b \in R
  2. Toplamsal birim eleman: 0 elemanı öyle ki her a \in R için, a + 0 = a
  3. Toplamsal ters elemanlar: Her a \in R için bir -a \in R öyle ki, a + (-a) = 0
  4. Toplamada değişmeli olma: Her a, b \in R için, a + b = b + a
  5. Toplamada birleşmeli olma: Her a, b, c \in R için, (a + b) + c = a + (b + c)
  6. Çarpma işlemi için kapalılık: Her a, b \in R için, a * b \in R
  7. Çarpmada birleşmeli olma: Her a, b, c \in R için, (a * b) * c = a * (b * c)
  8. Dağılım yasaları: Her a, b, c \in R için, a * (b + c) = a * b + a * c ve (b + c) * a = b * a + c * a

R[X] Polinom Halkası

R[X] ifadesi, R üzerindeki tek değişkenli polinomların kümesini temsil eder. Bu küme şu şekilde tanımlanır: R[X] = \{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 \mid n \geq 0, a_i \in R\}. Burada x polinomun değişkenidir.

R[X]'in Halka Olduğunu Gösterme

R bir halka olduğunda, R[X] kümesinin de bir halka olduğunu göstermek için yukarıdaki aksiyomların R[X] üzerinde de geçerli olduğunu kanıtlamamız gerekiyor:

  1. Toplama ve çarpma işlemi için kapalılık: Eğer f(x), g(x) \in R[X] ise, (f+g)(x) = f(x) + g(x) ve (f*g)(x) = f(x) * g(x) formunda yeni polinomlar üretilir ve bu polinomlar da R[X] içindedir.
  2. Toplamsal birim eleman: 0 polinomu (0*x^m + 0*x^{m-1} + ... + 0) toplamsal birim elemandır.
  3. Toplamsal ters elemanlar: Her f(x) \in R[X] için, -f(x) de R[X] içindedir.
  4. Toplamada değişmeli ve birleşmeli olma: Polinomların toplamı değişme ve birleşme yasalarına uyar.
  5. Çarpmada birleşmeli olma: Polinom çarpımı birleşme yasası geçerlidir.
  6. Dağılım yasaları: Polinomlarla yapılan çarpma işlemleri, dağılım yasasına uygundur.

Bu adımlar sonucunda, R'nin halka olması durumunda, tüm bu aksiyomların R[X] için de geçerli olduğu görülebilir. Dolayısıyla R[X] de bir halkadır.

TERİMLER:

Komütatif: Bir işlem için elemanların sırasının sonucu değiştirmediği durum.
Birim eleman: Çarpma işlemi için bir eleman böyle ki her a \in R için a * 1 = a.
Kapalılık: Bir işlem sonucunda elde edilen elemanların başlangıçta ele alınan küme içerisinde olması durumu.