Dünya’da periyodu T olan basit sarkaç, kütlesi Dünya kütlesinin 4 katı, yarıçapı dünya yarıçapının yarısı olan gezegene götürülürse periyodu kaç T olur?
A) 16
B) 8
C) 4
D) 1
E) 1/4
Bu soruda, dünya yüzeyindeki periyodu T olan bir basit sarkaç alınıyor ve daha sonra bu sarkacın kütle ve uzunluk özellikleri değiştiriliyor. Elimizdeki bilgilere göre, yeni gezegende sarkacın kütlesi Dünya kütlesinin 4 katı ve yarıçapı dünya yarıçapının yarısı olacak.
Basit bir sarkacın periyodu T, sarkacın uzunluğuna (L) bağlıdır. Periyot, matematiksel olarak T = 2π√(L/g) formülü ile hesaplanabilir, burada π pi sayısı ve g yerçekimi ivmesidir.
Yeni gezegende, sarkacın uzunluğu (L) ve yerçekimi ivmesi (g) değiştiği için periyot da değişecektir. Farklı gezegenlerdeki yerçekimi ivmeleri yarıçap ve kütle ile ilişkili olduğundan, periyot da yarıçap ve kütle tarafından etkilenecektir.
Yarıçap ve kütle oranları kullanılarak, yeni gezegendeki periyot oranını hesaplayabiliriz:
P2/P1 = √(L2/L1) * √(g1/g2)
Burada P1, sarkacın periyodu dünyada ve P2 ise yeni gezegende olacaktır.
Verilen soruda, yeni gezegende sarkacın kütlesi Dünya kütlesinin 4 katı ve yarıçapı dünya yarıçapının yarısı olduğu belirtiliyor. Yani:
L2 = (yarıçapın yarısı) ve
m2 = (Dünya kütlesinin 4 katı)
Bu değerleri kullanarak, P2/P1 = √(L2/L1) * √(g1/g2) formülünü uygulayalım:
P2/P1 = √[(yarıçapın yarısı)/(Dünya yarıçapı)] * √[(yerçekimi ivmesi dünyada)/(yerçekimi ivmesi yeni gezegende)]
Sonuçta, periyot oranını hesaplamak için sadeleştirme yapabiliriz. Yarıçap oranında kökteki ifadeyi sadeleştirirken, kütle oranını ise kaldırırız:
P2/P1 = √[(yarıçapın yarısı)/(Dünya yarıçapı)] * √[(yerçekimi ivmesi dünyada)/(yerçekimi ivmesi yeni gezegende)]
= √[(1/2)/(1)] * √[(1)/(4)]
Yarıçapın yarısı ve Dünya yarıçapı aynı birim cinsinde olduğu için, sadeleştirmek için bu değerleri birbirine bölebiliriz:
P2/P1 = √[(1/2)/(1)] * √[(1)/(4)]
= √(1/2) * √(1/4)
= √(1/8)
= 1/√8
= 1/(2√2)
Sonuç olarak, sarkacın yeni gezegendeki periyodu dünya yüzeyindeki periyodun (T) bir çeyreği olur:
P2/P1 = 1/(2√2) = 1/4 * 1/√2 = 1/4 * √2/√2 = √2/8 = 1/8
Bu nedenle, sarkacın yeni gezegende periyodu T’nin 1/8’i olacak. Yani, doğru cevap E) 1/8’dir.
TERİMLER:
- Yerçekimi ivmesi (g): Bir cismin ivmelenmesine neden olan yerçekimi kuvveti. Daha fazla kütleye sahip bir gezegende, yerçekimi ivmesi de daha büyük olur.
Basit sarkacın periyodu,
T = 2π * √(l / g)
formülü ile hesaplanır. Burada,
- T: Sarkacın periyodu
- l: Sarkacın uzunluğu
- g: Gezegenin yerçekimi ivmesi
Gezegenin kütlesi arttıkça, yerçekimi ivmesi de artar. Gezegenin yarıçapı azaldıkça, yerçekimi ivmesi de azalır.
Sorudaki gezegenin kütlesi Dünya kütlesinin 4 katı, yarıçapı ise Dünya yarıçapının yarısıdır. Bu durumda, gezegenin yerçekimi ivmesi, Dünya’daki yerçekimi ivmesinin yarısına eşit olur.
Yani,
g_2 = g_1 / 2
Bunu periyot formülüne uygularsak,
T_2 = 2π * √(l_2 / g_2)
T_2 = 2π * √(l_2 / (g_1 / 2))
T_2 = 2π * √(2l_2 / g_1)
T_2 = √2 * T_1
T_2 = √2 * T
Yani, yeni gezegende sarkacın periyodu, Dünya’daki periyodun √2 katı olur. Cevap C’dir.
Basit bir sarkacın periyodu şu formülle ifade edilir:
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
Burada T periyodu, L sarkacın uzunluğu veg yerçekimi ivmesidir. Periyotun yarıçap ve kütle ile ilişkisi şu şekildedir:
T \propto \sqrt{\frac{L}{g}}
Bu formüldeki orantılılık sabiti, sarkacın uzunluğu ve yerçekimi ivmesiyle ilgili bir sabittir. Verilen durumda, sarkacın uzunluğu ve yerçekimi ivmesi aynı kaldığı için orantılılık sabiti değişmez.
Ancak, sarkacın yeni konumunda, kütlesi Dünya kütlesinin 4 katı ve yarıçapı dünya yarıçapının yarısıdır. Sarkacın yeni periyodu T’ şu şekilde ifade edilebilir:
T' \propto \sqrt{\frac{L'}{g'}}
Burada L’ yeni sarkacın uzunluğu ve g’ yeni yerçekimi ivmesidir. Yeni sarkacın özellikleriyle eski sarkacın özellikleri arasındaki ilişki şu şekildedir:
\frac{L'}{g'} = \frac{L}{g}
Bu denklemi kullanarak, yeni periyodu T’ bulabiliriz:
T' = T \sqrt{\frac{L'}{L}}
Verilen bilgileri yerine koyarsak:
T' = T \sqrt{\frac{\left(\frac{1}{2}R\right)}{R}} = T \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{T}{\sqrt{2}}
Ancak soruda T’ değil, T olarak bir sayı isteniyor. T’ ve T arasındaki ilişkiyi kullanarak T ile T( arasındaki orantıyı bulabiliriz:
T = \frac{T'}{\sqrt{2}}
Bu orantıyı kullanarak, T’ yerine T kullanabiliriz:
T' = T \sqrt{2}
Soruda T olarak bir sayı istendiği için, sonucu
\sqrt{2}
ile çarparız:
T \sqrt{2} \times \sqrt{2} = T \times 2
Sonuç olarak, yeni sarkacın periyodu T’nin 2 katı olacaktır.
T' = 2T
Bu durumda, T’ nin değeri 2 katına çıkacak, yani T’ = 2T.
Eski periyodu T bildiğimize göre, yeni periyodu bulmak için T’ = 2T formülünü kullanabiliriz.
Eski periyot T olduğundan, yeni periyot T’ şu şekilde ifade edilir:
T' = 2T = 2 \times T
Sonuç olarak, T’ = 2T olduğu için yeni periyot eski periyodun 2 katı olacaktır.
Doğru cevap: B) 8