Soru 4: Bir PID kontrolöre sahip kontrol sisteminde hata değeri E(t) =20, bant değeri PB=%60, integral zamanı Ti=5sn ve Td=2 değerleri verilmektedir. Buna göre;
a) P kontrolörün kazancını bulunuz.
b) I kontrolörün kazancını bulunuz.
c) PID kontrolörün O(t) çıkışını grafik ve analitik olarak çözünüz.
Aşağıdaki cevapları oluşturmak için bir PID kontrolörün formülleri ve esş anlamlıları kullanılacaktır.
PID kontrolör, bir kontrol sistemini optimize etmek için bir dizi algoritma kullanan bir tür kontrol mekanizmasıdır. Çıkışı, hatadaki (belirli değer - mevcut değer) birleşik sonuçlarına dayanır. P, I ve D kısaltmaları hedefe ulaşmak için sisteme uygulanan üç çeşit eylemi temsil eder:
Bu durumda, P Kontrolörün kazancı Oransal Bant (PB) ile ters orantılıdır.
PB=%60 denildiğine göre, P kontrolörün kazancı (Kp) formülünü kullanacağız:
Kp = 100/PB
Bu durumda,
Kp = 100/60 = 1.6667 olacaktır.
I kontrolörün kazancı, P kontrolörün kazancı ve integral zamanı (Ti) arasındaki oran ile hesaplanır.
I kontrolörün kazancı, (Ki) formülü aşağıdaki gibidir:
Ki = Kp/Ti
Verilen değerlere göre,
Ki = 1.6667/5 = 0.3333 olarak bulunur.
PID kontrolörün çıkışını bulmak için PID denklemi kullanılır. Bu denklem, çıkışın, oransal, integral ve türevsel hataların toplamına bağlı olduğunu belirtir:
O(t)= KpE(t) + Ki∫E(t)dt + Kd*(d/dt)E(t)
Bu problemde, hatanın (E(t)) değeri verilmiştir ve sürekli 20 olarak kalmaktadır. Bu yüzden integral hata sürekli olarak birikir ve türevsel hata 0’dır.
Bu problemde Td değeri verilmiştir ancak bu değer burada kullanılmayacaktır çünkü hata değişmiyor ve dolayısıyla hata türevi 0 olacaktır.
Öyleyse, çıkışın PID kontrolörünü bulmak için (E(t)=20, Kp=1.6667 ve Ki=0.3333, Td = 0 kullanılır),
O(t) = 1.666720 + 0.333320*t + 0
Tabi ki bu bir sürekli büyüme fonksiyonu olacaktır. Çünkü eğer hata (E(t)) değişmiyorsa, I kontrolör hata değerini sürekli olarak biriktirir ve bu birikim zamanla çıkışı arttırır. Grafiğinde y ekseni 0’dan başlar ve pozitif yönde sürekli artış gösterir.
PID Kontrolör: Bir kontrol mekanizmasıdır. Bir sistemin çıkışını kontrol etmek ve belirli bir hedef değere getirmek için bir algoritma seti kullanır.
P (Proportional) Kontrolör: Hedef değerden olan sapmanın büyüklüğüne orantılı olarak kontrol etme yaklaşımıdır. Bu kontrolör tek başına kullanıldığında, sistemin yanıtında kalıcı bir hata bırakabilir.
I (Integral) Kontrolör : Hedef değerden olan sapmanın birikiminin veya toplamının kontrolünü sağlar. Bu kontrolör kalıcı hatayı ortadan kaldırabilir. Tek başına kullanıldığında, sistemin yanıt süresini yavaşlatabilir.
D (Differential) Kontrolör: Hedef değerden olan sapmanın değişim hızının kontrolünü sağlar. Bu kontrolör, sistemin hızlı davranışını iyileştirebilir ve sistemin kararlılığını sağlayabilir. Sistemin hedef değere daha hızlı ulaşmasını sağlar.
Oransal Bant (PB): P kontrolörün kazancının tersi olarak da bilinir.
Integral Zaman (Ti): Integral eyleminin sisteme etki etme hızını belirler.
Türev Zaman (Td): Türevsel eyleminin sisteme etki etme hızını belirler.
a) P kontrolörün kazancı
P kontrolörün kazancı, bant değerinin oransal kazanca bölünmesiyle bulunur.
Kp = PB / K
Kp = 0.6 / K
b) I kontrolörün kazancı
I kontrolörün kazancı, integral zamanına bölünmesiyle bulunur.
Ki = 1 / Ti
Ki = 1 / 5
Ki = 0.2
c) PID kontrolörün O(t) çıkışı
PID kontrolörün O(t) çıkışı, aşağıdaki denklemle verilir:
O(t) = KpE(t) + Ki ∫E(t)dt + KdE'(t)
O(t) = 0.6E(t) + 0.2 ∫E(t)dt + 2E'(t)
Grafiksel çözüm
Hata değeri E(t) sabit olduğu için, PID kontrolörün O(t) çıkışı aşağıdaki şekilde olacaktır:
Analitik çözüm
E(t) sabit olduğu için, integral terimi sabit bir değere ulaşır. Bu değer, integral zamanına bölünerek bulunur.
∫E(t)dt = E(t)Ti
∫E(t)dt = 20 * 5
∫E(t)dt = 100
Bu durumda, PID kontrolörün O(t) çıkışı aşağıdaki şekilde olur:
O(t) = 0.6E(t) + 0.2 * 100 + 2E'(t)
O(t) = 12 + 0.2 * 100 + 2E'(t)
O(t) = 120 + 2E'(t)
Eğer E’(t) sıfır ise, O(t) sabit bir değere ulaşır. Bu değer, 120’dir.
Eğer E’(t) pozitif ise, O(t) artar. E’(t) negatif ise, O(t) azalır.
Eğer E’(t)'nin zamana göre değişimi aşağıdaki gibi ise:
E'(t) = 20sin(t)
PID kontrolörün O(t) çıkışı aşağıdaki şekilde olacaktır:
O(t) = 120 + 2 * 20sin(t)
O(t) = 140sin(t)
Bu durumda, O(t) çıkışı, 140’ın sinüs fonksiyonu şeklinde olacaktır.