Fotoğrafta görülen soru matematiksel bir işlemle ilgilidir ve Fourier dönüşümü konusunu içermektedir. İlgili işaret formülü şu şekildedir:
w(t) = \Pi\left(\frac{t-5}{10}\right) + 8 \cdot \cos(6\pi t)
Burada (\Pi) sembolü bir dikdörtgen işareti temsil etmektedir. Soru, bu işaretin Fourier dönüşümünü direkt olarak Fourier dönüşümünün özelliklerini kullanarak bulmanızı istemektedir. Eğer konu hakkında daha fazla detay veya çözüm yolunu öğrenmek istiyorsanız, sizinle daha fazla bilgi paylaşabilir veya çözümle ilgili rehberlik edebilirim.
Elbette, sorudaki işareti adım adım Fourier dönüşümünü yaparak çözelim:
Sorudaki İşaret:
w(t) = \Pi\left(\frac{t-5}{10}\right) + 8 \cdot \cos(6\pi t)
Dikdörtgen İşareti Fourier Dönüşümü:
Dikdörtgen işareti \Pi(\frac{t}{\tau}) genişliği \tau olan bir dikdörtgen fonksiyonudur ve sürekli zaman Fourier dönüşümü:
\mathcal{F}\{\Pi(\frac{t}{\tau})\} = \tau \cdot \text{sinc}(\frac{\omega \tau}{2})
Burada \tau = 10 (işaret genişliği 10 olarak belirtilmiştir ve merkezi 5 birim kaydırılmıştır) ve t yerine (t-5) yazılır.
8 \cdot \cos(6\pi t) Fourier Dönüşümü:
Kosinus işaretinin Fourier dönüşümü, frekans domeninde iki delta fonksiyonuna karşılık gelir:
\mathcal{F}\{A \cdot \cos(\omega_0 t)\} = \frac{A}{2} [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]
Burada A = 8 ve \omega_0 = 6\pi (bu durumda frekans domeninde \pm 6\pi noktalarında zirveler olacaktır).
Genel Fourier Dönüşümü:
W(t)'nin Fourier dönüşümünü kullanarak;
\mathcal{F}\{w(t)\} = \mathcal{F}\{\Pi\left(\frac{t-5}{10}\right)\} + \mathcal{F}\{8 \cos(6\pi t)\}
= 10 \cdot e^{-j\omega\frac{5}{2}} \text{sinc}(\frac{\omega 10}{2}) + 8 \left[\frac{\delta(\omega - 6\pi) + \delta(\omega + 6\pi)}{2}\right]
Burada e^(-jω5/2) terimi, işaretin zaman ekseni boyunca 5 birim kaydırılmasından ötürü bir faz kaydı yaratır.
Bu çözüm, işareti frekans domeninde temsil eder ve burada spesifik frekanslardaki enerji yoğunluklarını gösterir. Genişlik 10 olan dikdörtgen işaret için sinc fonksiyonu temel analizdir ve \pm 6\pi frekanslarındaki delta fonksiyonları ise kosinüs işaretinin frekans bileşenleridir.
