Verilen bir potansiyel fonksiyonun gradyanını kullanarak akım fonksiyonunu bulmak için hangi matematiksel yöntemi kullanırız?
Verilen bir potansiyel fonksiyonun gradyanını kullanarak akım fonksiyonunu bulmak için Laplace denklemi çözülür. Laplace denklemi, ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem olup, iki boyuttaki bir alanda, potansiyel fonksiyonunun yayılma özelliklerini ifade eder. Bu denklemin çözümüyle, verilen potansiyel fonksiyonun gradyanı kullanılarak akım fonksiyonu hesaplanabilir.
Örnek bir akım alanındaki potansiyel fonksiyonu φ = 17(x2-y2)+15x-8y ile verilmektedir. bu akıma ait akım fonksiyonunu bulunuz:
Verilen potansiyel fonksiyonu diferansiyellersek, akım fonksiyonunu elde ederiz:
E_x = -∂φ/∂x = -34x + 15
E_y = -∂φ/∂y = 34y - 8
Ardından E_x ve E_y’yi integral alarak akım fonksiyonu bulunur:
I_x = ∫E_x dx = (-17x² + 15x) + C1
I_y = ∫E_y dy = (17y² - 8y) + C2
Burada C1 ve C2 sabitleridir. Bu sabitleri bulabilmek için, akımın herhangi bir noktasındaki değeri bilmemiz gerekiyor. Diyelim ki bu nokta (1,1) olsun ve bu noktadaki akım değeri I(1,1) olsun. Bu durumda C1 ve C2 şu şekilde olacaktır:
C1 = I(1,1) + 17 - 15 = I(1,1) + 2
C2 = I(1,1) + 17 - 8 = I(1,1) + 9
Sonuç olarak akım fonksiyonu şu şekilde olur:
I(x,y) = -17x² + 15x + I(1,1) + 2 + 17y² - 8y + I(1,1) + 9
I(x,y) = -17x² + 17y² + 15x - 8y + 2I(1,1) + 11
Burada I(1,1) değeri akımın (1,1) noktasındaki değeridir. Bu değer belirtilmeden tam olarak akım fonksiyonu hesaplanamaz.