P ve NP, bilgisayar bilimleri ve matematik alanlarında önemli olan iki gözde problemdir. P, “polynomial time” (polinom zamanda) çözülebilen problemleri temsil ederken, NP (non-deterministic polynomial time), “polynomial time” içinde doğrulanabilen problemleri temsil eder. P ve NP problemleri arasındaki ilişki ve temsilleri, bir problemi çözdüğümüzde algoritmasının çalışma süresini temsil etmektedir.
P problemleri, polinom zaman karmaşıklığına sahip olan ve algoritmaları daha etkin bir şekilde çözülebilen problemlerdir. Bunlar, bir çözümün doğruluğunu polinom zamanda doğrulayabildiğimiz problemlerdir.
NP problemleri ise, polinom zamanda doğrulanabilen, ancak polinom zamanında çözülemeyebilen problemleri ifade eder. Yani, bir çözümün doğruluğunu polinom zamanda kontrol edebiliriz ancak bu problemleri çözmek daha fazla zaman gerektirebilir veya henüz etkin bir algoritması bulunmayabilir.
P ve NP problemleri arasındaki ilişkiye gelince, P problemleri NP problemlerine dahildir. Yani, bir problemin P problemi olması durumunda bu problem aynı zamanda NP problemidir. Ancak, NP problemlerinin P problemleriyle aynı olup olmadığı hala bilinmemektedir. Bu, P’nin NP’ye eşit olup olmadığı sorununun “P=NP?” problemi olarak bilinir ve henüz cevaplanamamış önemli bir sorundur.
P ve NP problemlerinin çözümlerindeki farklılıklara gelince, P problemlerinin etkin bir şekilde çözülebilen algoritmaları vardır, yani polinom zamanda çözülebilirler. NP problemlerinin ise, henüz polinom zamanda çözülebilen etkin bir algoritması bulunmamaktadır. Ancak, bir NP problemi çözüldüğünde, bir çözümün doğruluğunu polinom zamanda kontrol edebiliriz.
P ve NP problemleri, bilgisayar bilimi ve matematikte önemli bir konsepttir. Bu problemlerin çözümleri, şifreleme, yapay zeka, optimizasyon problemleri gibi birçok alanda kullanılırlar. Örneğin, şifreleme algoritmaları (RSA gibi) gibi güvenlik sistemlerinin temelini P ve NP problemlerine dayandırır. Aynı zamanda, NP problemleri, kombinatorik problemler, yol bulma problemleri ve çok kısıtlı kaynaklarla yapılan planlamalar gibi gerçek dünya problemlerini de etkiler.
“P’ye karşı NP” sorusu, bir problemin P sınıfında mı (etkin bir şekilde çözülebilir) yoksa NP sınıfında mı (polinom zamanında doğrulanabilen) olduğunu sorgulayan bir ifadedir. Yani, bir problemin etkin bir şekilde çözülüp çözülemediği ya da sadece doğrulanabilir olup olmadığı sorusunu ortaya koyar. Ancak, bu sorunun yanıtı hala kesin olarak bilinmemektedir.
P vs NP probleminin çözümüne dair önemli ilerlemeler
P vs NP probleminin temel sorusu şudur: P sınıfındaki problemlerin çözümlerinin etkili bir şekilde (polinom zamanında) doğrulanabilir olup olmadığıdır. P sınıfındaki problemler, polinom zamanında çözülebilen problemleri ifade ederken, NP sınıfındaki problemler, polinom zamanında doğrulama yapılabilen problemleri ifade eder. P vs NP probleminin çözümü, bu iki sınıf arasındaki ilişkinin anlaşılması anlamına gelir.
Stephen Cook’un 1971’de yaptığı önemli çalışma, NP-zor problemlerin varlığını gösteren bir teorem olan "Cook’un Teoremi"dir. Bu teoremde, NP-zor problemlerin NP sınıfındaki herhangi bir problemi zorladığı gösterilmiştir. Cook’un Teoremi, NP-zor problemlerin çözümü için etkili bir algoritmanın bulunması durumunda, tüm NP sınıfındaki problemlerin çözülebileceğini gösterir.
SAT problemi (Boolean satisfiability problem), bir kümede verilen değişkenlerin değerlerinin, verilen bir doğruluk tablosunu karşılayıp karşılamadığını belirleme problemidir. Cook’un Teoremi, SAT probleminin NP-zor olduğunu gösterir. Bu da demek oluyor ki, eğer SAT probleminin etkili bir şekilde çözümü mümkünse, o zaman tüm NP-zor problemlerin çözümü mümkün olacaktır.
Ancak, P vs NP probleminin çözümü hala bilinmemektedir ve bu konudaki araştırmalar devam etmektedir. Bu alandaki matematikçiler ve bilgisayar bilimcileri, P vs NP probleminin çözümüne dair daha derin anlayışlar kazanmak ve bu önemli soruyu yanıtlamak için çeşitli yaklaşımlar geliştirmeye devam etmektedirler.
Cook’un Teoremi
Cook’un Teoremi’nin temelini ve nasıl çalıştığını daha ayrıntılı bir şekilde açıklamaya çalışalım.
Cook’un Teoremi, Stephen Cook tarafından 1971 yılında yayımlanan “The Complexity of Theorem-Proving Procedures” adlı makalesinde sunulmuştur. Bu teorem, NP-zor problemlerin varlığını gösteren bir teorem olarak bilinir.
Temel kavram, NP-zorluğunun, NP sınıfındaki herhangi bir problemi zorlayan bir dil sınıfının varlığına dayanır. Yani, bu dil sınıfındaki her problemi çözmek, NP sınıfındaki her problemi çözmek anlamına gelir. Cook’un Teoremi, bu dil sınıfını oluşturmak için SAT (Boolean satisfiability problem) probleminden yola çıkar.
Cook’un Teoremi’nin ana adımları şu şekildedir:
-
Dilin Tanımı (Cook’un Dilinde): Bir dil tanımlanır, ki bu dil sınıfındaki bir dil NP sınıfındaki herhangi bir dilin üzerine indirgenebilir. Bu dil sınıfı NP-zor olarak adlandırılır.
-
Tanımın Doğruluğu: Cook, bu dilin NP sınıfındaki bir dilin üzerine indirgenebildiğini ve bu indirgeme işleminin polinom zamanda yapılabileceğini gösterir. Yani, NP-zor dil sınıfındaki bir dilin çözümü, polinom zamanlı bir algoritma kullanılarak NP sınıfındaki bir dilin çözümüne indirgenebilir.
-
SAT Probleminin NP-Zor Olduğunun Gösterimi: Cook, özel bir dil tanımlar: bu dil, bir bilgisayar programının çalıştırılabilir bir formunu içerir ve bu programın belirli bir girdi üzerinde çalıştırıldığında doğru bir çıkış üretebilmek için belirli bir aritmetiksel ifadenin tautolojik olup olmadığını kontrol eder. Cook, bu dilin NP-zor olduğunu gösterir.
Bu adımlar, Cook’un Teoremi’nin ana hatlarını oluşturur. Teorem, NP-zor problemlerin varlığını göstererek P vs NP probleminin karmaşıklığına dair önemli bir anlayış sağlar. Ancak, hala P vs NP probleminin çözümü konusunda bir kesinlik yoktur ve bu alandaki araştırmalar devam etmektedir.
TERİMLER:
Polynomial Time (polinom zaman): Bir algoritmanın girdi boyutuna bağlı olarak çalışma süresinin polinom fonksiyonu şeklinde artması durumudur.
Non-deterministic polynomial time (non-deterministik polinom zaman): Bir algoritmanın tüm yol kombinasyonlarını deneyerek çalışmasını en kötü durumda polinom zamanda tamamlaması durumudur.
Bu konuda ufuk açıcı harika bir kaynak: