1000'den küçük olan ve 2, 3 ve 5'e bölündüğünde sırasıyla 1, 2 ve 4 kalanını veren en büyük doğal sayı kaçtır?

LGS Hazırlık LGS Matematik
, , ,
1

1000’den küçük olan ve 2, 3 ve 5’e bölündüğünde sırasıyla 1, 2 ve 4 kalanını veren en büyük doğal sayı kaçtır?

2

Aranan en büyük sayı 959’dur.

Çözüm

Sayıyı n ile gösterelim. Koşullar:

  • n < 1000
  • n \equiv 1 \pmod{2}
  • n \equiv 2 \pmod{3}
  • n \equiv 4 \pmod{5}

Son iki koşulu düzenleyelim:

  • n \equiv 2 \pmod{3} demek n = 3k + 2
  • n \equiv 4 \pmod{5} demek n = 5m + 4

Ayrıca dikkat edersek:

  • n \equiv 4 \pmod{5} ise n = 5m + 4 mutlaka çifttir, çünkü 5m tek veya çift olabilir ama +4 eklenince sonuç çift olur.
  • Koşulda ise n \equiv 1 \pmod{2}, yani n tek olmalıdır.

Bu iki durum çelişiyor gibi görünse de dikkat: n \equiv 4 \pmod{5} aynı zamanda n \equiv -1 \pmod{5} demektir. Bu bize sistematik bir arama imkânı sağlar.

Daha sistematik gidelim ve 2, 3, 5 için ortak modül bulalım:

  • 2, 3, 5 sayılarının en küçük ortak katı $30$’dur.

Şimdi n için mod 30 bakımından bir temsil bulalım:

  • n \equiv 1 \pmod{2} → n tek
  • n \equiv 2 \pmod{3}
  • n \equiv 4 \pmod{5}

0 ile 29 arasındaki sayılar içinde bu üç koşulu aynı anda sağlayanı arayalım:

  • n \equiv 4 \pmod{5} olanlar: 4, 9, 14, 19, 24, 29

  • Bunların içinde n \equiv 2 \pmod{3} olanları seçelim:

    • 4 \equiv 1 \pmod{3} → olmaz
    • 9 \equiv 0 \pmod{3} → olmaz
    • 14 \equiv 2 \pmod{3} → olur
    • 19 \equiv 1 \pmod{3} → olmaz
    • 24 \equiv 0 \pmod{3} → olmaz
    • 29 \equiv 2 \pmod{3} → olur

Şimdi bu ikincil listede tek olanları seçelim (çünkü n \equiv 1 \pmod{2} isteniyor):

  • 14 çift → elenir
  • 29 tek → kalır

Demek ki n için temel çözüm:

  • n \equiv 29 \pmod{30}

Yani tüm çözümler:

  • n = 30k + 29

Şartımız n < 1000 olduğuna göre:

  • 30k + 29 < 1000
  • 30k < 971
  • k < \dfrac{971}{30} \approx 32{,}36

En büyük tam k = 32 olur.

  • n = 30 \cdot 32 + 29 = 960 + 29 = 989

Son kontrol:

  • 989 \div 2 → kalan 1
  • 989 \div 3 → 3 \cdot 329 = 987, kalan 2
  • 989 \div 5 → 5 \cdot 197 = 985, kalan 4

Hepsini sağlıyor ve $1000$’den küçük daha büyük çözüm yok. Dolayısıyla aranan en büyük doğal sayı:

n = 989

TERMS

  • Bölme işlemi (modüler aritmetik): n \equiv r \pmod{m}, n sayısının m ile bölümünden kalanının r olduğunu belirtir.
  • En küçük ortak kat (Ekok): Verilen sayıların tümüne bölünebilen en küçük pozitif tam sayı.
  • Kongruens (congruence): Modüler eşitlik; a \equiv b \pmod{m} ifadesi, a ve $b$’nin m ile bölümünden kalanlarının eşit olduğunu söyler.

Kaynak