|
|
|
|
|
|
FONKSIYON
A. TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bagintisi verilmis olsun.
A nin her elemani B nin elemanlariyla en az bir kez ve en çok bir kez esleniyorsa bu bagintiya fonksiyon denir.
A. TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bagintisi verilmis olsun.
A nin her elemani B nin elemanlariyla en az bir kez ve en çok bir kez esleniyorsa bu bagintiya fonksiyon denir.
"x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanim kümesi, B ye de deger kümesi denir.
Yukarida A dan B ye tanimlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
biçiminde de gösterilir.
Ü
Her fonksiyon bir bagintidir. Fakat her baginti fonksiyon olmayabilir.
Ü
Görüntü kümesi deger kümesinin alt kümesidir.
Ü
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanimlanabilir.
ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanimlanabilir.
iii) A dan B ye tanimlanabilen fonksiyon olmayan bagintilarin sayisi 2m × n – nm dir.
Ü
Grafigi verilen bir bagintinin fonksiyon olup olmadigini anlamak için, y eksenine paralel dogrular çizilir. Bu dogrular fonksiyonun belirttigi egride en az bir ve en çok bir noktayi kesiyorsa verilen baginti x ten y ye bir fonksiyondur.
B. FONKSIYONLARDA ISLEMLER A Ç B ¹ Æ olmak üzere,
A Ç B ¹ Æ olmak üzere,
fonksiyonlari tanimlansin.
<LI style="FONT-WEIGHT: bold">(f + g) : A Ç B ® , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
<LI style="FONT-WEIGHT: bold">(f – g) : A Ç B ® , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f × g) : A Ç B ® , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
"x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,
c Î olmak üzere, (c × f) : A ® , (c × f)(x) = c × f(x) tir.
(c × f) : A ® , (c × f)(x) = c × f(x) tir.
C. FONKSIYON ÇESITLERI 1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farkli elemanlarin görüntüleri de farkliysa fonksiyon bire birdir..
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farkli elemanlarin görüntüleri de farkliysa fonksiyon bire birdir..
BBuna göre, bire bir fonksiyonda,
"x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.
Diger bir ifadeyle,
"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.
Ü
s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanimlanabilecek bire bir fonksiyonlarin sayisi,
2. Örten Fonksiyon Görüntü kümesi deger kümesine esit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
Görüntü kümesi deger kümesine esit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
Ü
f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
Üs(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanimlanabilen bire bir örten fonksiyonlarin sayisi,
m! = m × (m – 1) × (m – 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir.
3. Içine Fonksiyon Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü
Içine fonksiyonun deger kümesinde eslenmemis eleman vardir.
Ü
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanimlanabilen içine fonksiyonlarin sayisi mm – m! dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon Her elemani kendisine esleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
Her elemani kendisine esleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon Tanim kümesindeki bütün elemanlari deger küme-sindeki bir elemana esleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Tanim kümesindeki bütün elemanlari deger küme-sindeki bir elemana esleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü
"x Î A ve c Î B için,
f : A ® B
f(x) = c
ise, f sabit fonksiyondur.
Ü
s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanimlanabilir.
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur. Ü
Çift fonksiyonlarin grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
ÜTek fonksiyonlarin grafikleri orijine göre simetriktir.
Ü
Çift fonksiyonlarin grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
ÜTek fonksiyonlarin grafikleri orijine göre simetriktir.
D. ESIT FONKSIYON f : A ® B
f : A ® B
g : A ® B
Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna esittir.
E. PERMÜTASYON FONKSIYON f : A ® A
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
biçiminde gösterilir.
F. TERS FONKSIYON f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1 : B ® A, f–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
(x, y) Î f ise, (y, x) Î f–1 oldugu için,
y = f(x) ise, x = f–1(y) dir.
Ayrica, (f–1)–1 = f dir.
(f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir.
f fonksiyonu bire bir ve örten degilse, f–1 fonksiyon degildir.
f : A ® B ise, f–1 : B ® A oldugu için, f nin tanim kümesi, f–1 in deger kümesidir. f nin deger kümesi de, f–1 in tanim kümesidir.
f(a) = b ise, f–1(b) = a dir.
f–1(b) = a ise, f(a) = b dir.
Ü
y = f(x) fonksiyonunun grafigi ile y = f–1(x) in grafigi
y = x dogrusuna göre birbirinin simetrigidir.
Ü olmak üzere,
Ü olmak üzere,
G. BILESKE FONKSIYON f : A ® B, g : B ® C fonksiyonlari tanimlansin.
f : A ® B, g : B ® C fonksiyonlari tanimlansin.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarini C kümesinin elemanlarina esleyen fonksiyona g ile f nin bileske fonksiyonu denir.
Buna göre,
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileske fonksiyonu denir ve g bileske f diye okunur.
Ü
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
Bileske isleminin degisme özeligi yoktur.
Bu durumda, fog ¹ gof dir.
Bazi fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda degisme özeligi yoktur.” gerçegini degistirmez.
Ü
Fonksiyonlarda bileske isleminin birlesme özeligi vardir.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.
Ü
I birim fonksiyon olmak üzere,
foI = Iof = f ve
f–1of = fof–1 = I dir.
Ü
f, g ve h fonksiyonlari bire bir ve örten olmak üzere,
(fog)–1 = g–1of–1 ve
(fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir.
Ü
(fog)(x) = h(x)
ise, f(x) = (hog–1)(x) dir.
ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir.
• f–1 (x) = f(x) tir.
• (fof) (x) = x
• (fofof) (x) = f(x)
• (fofofof) (x) = x
...
H. FONKSIYONUN GRAFIGI Bir fonksiyonun elemanlarina analitik düzlemde karsilik gelen noktalarin kümesine bu fonksiyonun grafigi denir.
Bir fonksiyonun elemanlarina analitik düzlemde karsilik gelen noktalarin kümesine bu fonksiyonun grafigi denir.
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}
(a, b) Î f
oldugundan
f(a) = b dir.
Ayrica, f–1(b) = a dir.
Ü
Yukaridaki y = f(x) fonksiyonunun grafigine göre,
f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,
f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dir
|
|
|
 |
Konu: Matematik |
0 kişi okuyup oyladı: - |
 |
|
|
|
|
|
|
50 kp
Merhaba hocam sizi rahatsiz ediyorum ama sizden baska bana yardim edecek biri oldugunu sanmiyorum.Bir kaç tane soruyu yapamadim .....
